Обтекание круглого цилиндра

Комплексный потенциал, включающий сумму потенциалов плоскопараллельного оси Х потока и диполя, можно записать

                               (6.54)

Отделив мнимую и вещественную части, запишем

.                     (6.55)

Выражения для потенциала скорости и функции тока с учетом :

                          (6.56)

                            (6.57)

Следовательно, уравнение линии тока будет иметь вид  или

                   (6.58)

Нулевая линия тока  задается двумя уравнениями:

                     (6.59)

Второе уравнение представляет собой окружность радиуса

                                   (6.60)

с центром в начале координат. Первое соответствует оси абсцисс (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Линии тока при обтекании круглого цилиндра

Рис. 6.8. Цилиндрические координаты (полярные в сечении)

Заменив нулевую линию тока твердой стенкой без изменения характера движения потока, получим обтекание круглого цилиндра.

В цилиндрических координатах запишем равенства , ,  (рис. 6.8) и

,                                     (6.61)

поэтому

           (6.62)

Проекции скорости будут

                    (6.63)

                   (6.64)

На поверхности цилиндра

 и , а                     (6.65)

Точки, в которых скорость равна нулю при обтекании цилиндра, соответствуют  и  Максимальные значения скоростей соответствуют  и

Из уравнения Бернулли для нулевой линии тока получим

                       (6.67)

или

,                        (6.68)

где  – давление в любой точке на поверхности цилиндра.

Вводя коэффициент давления

                            (6.69)

и подставляя , получим

                           (6.70)

Поэтому

                               (6.71)

Рис. 6.9. Распределение коэффициента давления

Обтекание реальной жидкостью круглого цилиндра ведет к несимметричному распределению давления. Вид кривой распределения давления зависит от числа Рейнольдса Re.

Проекции сил давления, действующего на элементарную площадку  (единичной длины), будут равны:

;                 (6.72)

Поскольку

                     (6.73)

и

                                      (6.74)

то

        (6.75)

Учитывая

 и                             (6.76)

получим

Аналогично доказывается, что и

Отсутствие силы сопротивления для тел, независимо от их формы, обтекаемых потоком идеальной жидкости, в гидродинамике называется парадоксом Даламбера.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией тока?

2. Какова общая форма записи уравнения линий тока?

3. Какова форма записи уравнений линий тока и эквипотенциалей для плоскопараллельного потока?

4. Какими уравнениями определяются линии тока и эквипотенциали источника и стока?

5. Какими выражениями определяются проекции скорости потока при обтекании цилиндра?

ЛЕКЦИЯ 7.ГИДРОМЕХАНИКА ТРУБОПРОВОДОВ