Вихревые линии и вихревые трубки

Вихри скоростей образуют вихревое поле, в котором находятся вихревые линии и вихревые трубки. Из определения вихревой линии и вихревой трубки следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.

Вводя понятие потока вектора вихря скорости, равного

,                                       (5.10)

где  – площадь поверхности;  – нормаль к поверхности, найдем, что поток вектора вихря скорости через вихревую поверхность будет равен нулю:

                                   (5.11)

Поток вектора вихря скорости сквозь произвольное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки (рис. 5.4):

                           (5.12)

Рис. 5.4. Вихревая трубка

Это утверждение составляет вторую теорему Гельмгольца.

Поток вихря характеризует интенсивность вихревой трубки

                             (5.13)

При постоянной величине вихря  получим

,                   (5.14)

откуда следует:

1) сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, т.к. бесконечно большая скорость вращения частиц физически невозможна;

2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность.

Другой важной теоремой о вихрях является теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку, т.е.

,                         (5.15)

где  – длина контура.

Безвихревое движение жидкости.

Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли

Для потенциального движения

Если во всей области движения жидкости

 или , ,            (5.16)

где величина ротора скорости  определяется с применением оператора набла ( ) в виде

= (5.17)

где  – орты (единичные векторы) осей декартовой системы координат в направлениях X, Y, Z соответственно, то существует потенциал скорости  и скорость имеет компоненты, определяемые следующим образом:

; ;                            (5.18)

или

Уравнение Эйлера в форме Громеки - Ламба имеет вид

;

;          (5.19)

или в векторной форме

            (5.20)

Условие потенциальности позволяет записать

                     (5.21)

Следовательно, выражение в скобках зависит только от времени, поэтому интеграл уравнения будет иметь вид

,                       (5.22)

где  определяется из краевых условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши-Лагранжа для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

Когда массовые силы сводятся силами тяжести, потенциал которых , интеграл Коши-Лагранжа принимает вид

.                      (5.23)

В этом уравнении имеются два неизвестных  и , поэтому следует использовать уравнение неразрывности

                            (5.24)

или

                          (5.25)

Решение последнего уравнения Лапласа позволяет найти потенциал скорости , что с учетом равенства

                       (5.26)

определяет давление . Произвольная функция  будет найдена по величине  в некоторой точке.

Для стационарного движения  и с учетом выражения потенциала массовой силы тяжести  получим

Это интеграл Бернулли для потенциальной струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Наиболее употребительна его форма вида

                            (5.27)

где  – геометрическая высота (удельная потенциальная энергия) положения сечения струйки;  – пьезометрическая высота (удельная потенциальная энергия давления);  – скоростной напор (удельная кинетическая энергия).

Кинематика вихревых колец

Для модели циркуляционного течения (рис. 5.5) по любой из концентрических окружностей с центром в начале координат циркуляция скорости равна

,                                       (5.28)

где  – радиус соответствующей окружности.

Рис. 5.5. Кинематика плоского вихря

Отсюда скорость, индуцируемая прямолинейным вихрем в плоскости, расположенной по нормали к его оси, будет

.                                        (5.29)

Для вихревого кольца радиусом R (рис. 5.6) индуцированная скорость в идеальной жидкости по закону Био-Савара направлена по оси аппликат и имеет вид

,                               (5.30)

а компоненты  и  равны нулю.

Рис. 5.6. Кинематика вихревого кольца

В вязкой среде происходит диссипация энергии, и величина завихренности во времени равна

,                              (5.31)

где  – коэффициент кинематической вязкости.

Вектор угловой скорости вращения частицы имеет вид

,                            (5.32)

а его проекции на оси координат равны

;

;                          (5.33)

.