Циркуляция и вихревое движение несжимаемой жидкости

Особенностью движения жидкости на криволинейных участках является возможность образования циркуляционного течения. Пусть поле скоростей жидкости искривлено (рис. 5.1, а).

Рис. 5.1. Образование циркуляции в поле скоростей жидкости

Поместим в жидкость замкнутую трубку в виде петли постоянного сечения (рис. 5.1, б). При мгновенном замораживании жидкости, находящейся вне трубки, в ней сохранится импульс. Жидкость будет двигаться и приобретет циркуляцию, равную произведению средней касательной компоненты скорости на длину контура обхода (рис. 5.1, в).

Если в жидкости провести отрезок кривой АВ (рис. 5.2), то криволинейный интеграл в векторном поле скоростей будет равен

     (5.1)

и определит циркуляцию скорости на участке АВ.

Рис. 5.2. Определение циркуляции скорости на участке АВ незамкнутого контура

Для замкнутого контура запишем

.                            (5.2)

Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Вращение твердого тела

Если угловая скорость вращения  относительно оси Z, то скорость точки тела М равна  а ее проекции на оси X и Y будут соответствовать

; ;                                      (5.3)

Определив значения  и  получим величину завихренности

                                  (5.4)

т.е.  – компонента вектора завихренности – связана с z-компонентой вектора угловой скорости вращения жидкой частицы  соотношением

Аналогично можно получить компоненты

                           (5.5)

Вихрь вектора скорости жидкой частицы  определяется через вектор угловой скорости :

                                         (5.6)

Вихревое движение может быть и ламинарным, и турбулентным.

Потенциальное движение несжимаемой жидкости

Если  то течение становится потенциальным (безвихревым). При этом будет выполняться условие

                 (5.7)

что возможно при существовании функции , удовлетворяющей условиям:

; ; .                        (5.8)

Такое течение называется потенциальным. В этом случае циркуляция скорости на участке АВ определяется разностью потенциалов скоростей в точках А и В:

(5.9)