Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса

Касательные напряжения вызываются трением. При отнесении сил трения к массе несжимаемой жидкости ( ) можно записать

                      (4.14)

где ;  – кинематическая вязкость.

Уравнение Рейнольдса

В случае пульсационного изменения скоростей в каждой точке потока действительная мгновенная скорость в соответствии с выражением (3.3) равна  с проекциями на оси координат , , . Из уравнений Навье-Стокса в результате замены действительных составляющих вектора скорости  на компоненты осредненных  и пульсационных  скоростей выводятся уравнения Рейнольдса:

(4.15)

Уравнение неразрывности для компонент осредненных скоростей имеет вид

                            (4.16)

Однако система из трех уравнений Рейнольдса и уравнения неразрывности не являются замкнутыми. Недостающие уравнения полуэмпирическим путем определяют турбулентные напряжения , , , , , , , .

Граничные и начальные условия

Набор постоянных и функций, входящих в дифференциальные уравнения движения жидкости, определяется дополнительными условиями, которые часто называются краевыми.

Краевые условия включают граничные и начальные условия.

Граничные условия формируются на границе области потока жидкости:

1) если граница является свободной поверхностью, то давление на ней постоянно  ( ).

2) если поток ограничен твердой стенкой, то образуется условие непротекания и нормальная к стенке компонента скорости ;

3) вязкая жидкость «прилипает» к твердой стенке и ;

4) в живом сечении, ограничивающем поток, задается распределение скоростей.

Начальные условия требуют знания о параметрах потока в момент времени  (обычно ). Например, при движении из состояния покоя  а давление распределяется по гидростатическому закону

                                  (4.17)

Если радиусы кривизны потока велики, то поток называется плавно изменяющимся. Если оси X и Y лежат в плоскости живого сечения, то компонентами скорости и  можно пренебречь и уравнения Навье-Стокса будут иметь вид

т.е. условие плавно изменяющегося движения означает, что распределение давления подчиняется закону гидростатики.

Вопросы для самопроверки:

1. Какой физический закон выражает уравнение неразрывности?

2. Какая из форм уравнений гидродинамики описывает безвихревое движение идеальной жидкости?

3. Какая из форм уравнений описывает движение идеальной жидкости с учетом вихревой составляющей?

4. Какая из форм уравнений гидродинамики описывает движение вязкой жидкости с учетом пульсационных составляющих скорости (турбулентных напряжений)?

ЛЕКЦИЯ 5.ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ