Особенности движения жидкой частицы

Теорема Коши-Гельмгольца гласит, что скорость в каждой точке элементарного объема жидкости складывается из скоростей поступательного движения вместе с полюсом, вращательного движения вокруг полюса и деформационного движения (рис. 3.6):

.                        (3.16)

Рис. 3.6. Движение жидкого объема

Первые два члена  и  характерны и для движения твердой частицы, поэтому их можно трактовать как скорость квазитвердого движения.

Если положение точки А относительно полюса определяется вектором , то векторы ,  и  имеют компоненты соответственно

                               (3.17)

Разложение в ряд Тейлора непрерывной функции координат  в точке полюса  с точностью первого порядка малости дает

.     (3.18)

Аналогичные соотношения можно получить и для двух других компонентов скорости  и .

Введем двучлен вида , прибавляя и вычитая который из последнего равенства, запишем

(3.19)

Величина  характеризует поступательное движение полюса.

Величины

(3.20)

являются компонентами угловой скорости вращения частицы вокруг полюса.

Кроме квазитвердого движения частицы происходит деформационное движение ее частей, о чем говорят члены

.  (3.21)

Для пояснения их физического смысла рассмотрим движение отрезка в жидкости  вдоль оси (рис. 3.7, а).

В момент  скорость начала отрезка . Скорость его конца при разложении по формуле Тейлора будет  За время  отрезок продвигается влево, но его концы пройдут расстояния

 и ,                            (3.22)

то есть отрезок растянется или сожмется.

,                       (3.23)

т. е.  есть линейная деформация отрезка за время , или скорость линейной деформации, а  является скоростью относительной линейной деформации.

При движении отрезка  вдоль оси (рис. 3.7, б) его концы имеют скорости  и  и за время  пройдут пути  и  В результате за время  отрезок  повернется на угол

.                     (3.24)

Рис. 3.7 Деформация жидкой линии: а – вдоль оси х; б – вдоль оси z

Если одновременно движутся два отрезка  и , составляющие в начальный момент времени между собой прямой угол, то отрезок  за время  повернется на угол , а отрезок  – на угол .

Деформация прямого угла равна

,                     (3.25)

где  – скорость деформации прямого угла.

Ускорение жидкой частицы

Проекции ускорения  жидкой частицы на оси x, y, z будут иметь вид ,  и . Для проекции производной скорости на ось , которая является функцией четырех аргументов x, y, z и , запишем

        (3.26)

Величины производных от координат по времени могут быть переписаны как

;  ; ,                (3.27)

поэтому

            (3.28)

Аналогичные соотношения можно получить и для функций  и .

Слагаемые ;  являются локальными ускорениями в данной точке жидкости.

Компоненты , ,  характеризуют изменение компонент скорости при прохождении частицы через данную точку и называются конвективными ускорениями.

Уравнениям для проекции ускорения на ось  с использованием двучлена

                                 (3.29)

можно придать вид

(3.30)

Конвективные составляющие уравнения содержат члены типа , ответственные за вращение (завихрение) жидкости.

В ряде случаев используется понятие завихренности жидкости с компонентами , , .