Вихревое и безвихревое движение

При отсутствии вращения  поэтому

; ;                     (3.31)

Эти условия обеспечивают существование функции  с дифференциалом

                     (3.32)

Определение полного дифференциала показывает, что из существования для безвихревого движения потенциала , который называется потенциалом скорости, можно определить компоненты вектора скорости:

; ;                       (3.33)

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется установившимся и неустановившимся движением жидкости?

2. Какие методы описания движения жидкости Вам известны? Охарактеризуйте их.

3. Что называется живым сечением?

4. Что представляет собой смоченный периметр потока?

5. Что понимается под напорным и безнапорным движением жидкости?

6. Что называется гидравлическим радиусом?

7. Из каких компонент складывается скорость в каждой точке элементарного объема жидкости согласно теореме Коши-Гельмгольца?

ЛЕКЦИЯ 4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Уравнения движения невязкой жидкости

Напряженное состояние жидкости, находящейся в покое, устанавливается уравнениями Эйлера. В процессе движения силы, действующие на жидкость, определяются не только напряжениями, но и скоростями.

Использование уравнений статики для описания движения – принцип кинетостатики, или принцип Д’Аламбера, – состоит во введении сил инерции

.                                        (4.1)

Относя силы инерции к массе частицы жидкости, можно записать

.                                         (4.2)

Проекции удельной силы инерции выражаются через компоненты скорости

; ; .                                    (4.3)

В соответствии с принципом Д’Аламбера уравнения движения принимают вид

                                    (4.4)

                                    .

Это уравнения идеальной (невязкой), несжимаемой жидкости, поскольку в них не учитываются процессы внутреннего трения и связанные с ними касательные напряжения. В соответствии с примечанием к формулам (2.25) и (2.25а) в системе уравнений (4.4) приняты обозначения удельных массовых сил , , .

Эквивалентные формы

Уравнений невязкой несжимаемой жидкости

В зависимости от представления компонент ускорений можно записать следующие эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости:

а) в декартовой системе координат x, y, z

        (4.5)

б) в форме Громеки-Ламба при выполнении условий несжимаемости  и существования потенциала массовых сил

;

        (4.6)

Уравнение неразрывности

Замыкание системы уравнений движения невязкой жидкости производится с помощью уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы.

Определим изменение расхода несжимаемой жидкости ( ) при ее движении через элементарный объем с ребрами длиной  и  (рис. 4.1). Масса жидкости  в выделенном объеме сохраняется, поэтому .

Рис. 4.1. Движение жидкости сквозь элементарный объем

Если жидкость протекает через грани, параллельные плоскости , то она входит в левую грань со скоростью  и выходит через противоположную грань со скоростью

                                           (4.7)

Из условия баланса масс жидкости, входящей в элементарный объем и выходящей из него за время , следует уравнение изменения потока массы

(4.8)

Для других пар граней запишем

 и            (4.9)

Суммарное изменение массы равно

  (4.10)

Поскольку в замкнутом объеме , то, после сокращения на  получим

                             (4.11)

Это дифференциальная форма уравнения неразрывности.

Если движение жидкости потенциально, то проекции скорости на оси координат могут быть определены в виде

; ; .                    (4.12)

С учетом выражений для производных от компонент скорости по соответствующим координатам

;

;

получим уравнение Лапласа для безвихревого движения жидкости

                        (4.13)

где  – оператор Лапласа.