Силы давления жидкости на твердые поверхности

При определении сил давления покоящейся жидкости и газа на твердую поверхность (стенку) следует рассматривать следующие случаи:

1) равномерное давление на плоскую поверхность (может быть создано газом, если весовая часть давления пренебрежимо мала при любой ориентации плоской стенки, или тяжелой жидкостью при горизонтальном расположении поверхности). Сила давления вычисляется по формуле

;                                        (2.56)

2) равномерное давление на криволинейную поверхность (может быть создано только газом при указанном предположении). Результирующая сила давления определяется через проекции; например, проекция на ось х имеет вид

,                        (2.57)

где  – площадь проекции криволинейной поверхности  на плоскость, нормальную к оси х (рис. 2.9).

Рис. 2.9. К вычислению силы равномерного давления

на криволинейную поверхность

Аналогично выражаются две другие проекции. Тогда

                              (2.58)

Линия действия силы  определяется направляющими косинусами:

; ; ;     (2.59)

3) неравномерное давление на плоскую поверхность (создается тяжелой жидкостью при наклонном к горизонту положении стенки). Если на свободной поверхности жидкости избыточное давление , то сила избыточного давления на площадь

,                               (2.60)

где  – глубина погружения центра масс площади S под свободной поверхностью.

Точка D приложения силы , называемая центром давления, определяется координатами:

; ,                (2.61)

где  – моменты инерции площадки относительно осей ,  (рис. 2.10); ,  – координаты центра масс С;

Рис. 2.10. К вычислению силы неравномерного давления

покоящейся жидкости на плоскую стенку

4) неравномерное давление на криволинейную поверхность (создается тяжелой жидкостью). Систему элементарных сил давления в общем случае необходимо привести к равнодействующей и моменту. Результирующую величину сил избыточного давления определяют через составляющие. Горизонтальные составляющие (рис. 2.10) могут быть вычислены по формуле

,                         (2.62)

где  – площади проекций криволинейной поверхности  на плоскость, нормальную оси х или у;  – глубина погружения центров масс площадок под свободную поверхность.

Вертикальная проекция силы давления определяется внешним давлением и массой жидкости в объеме тела давления . Под телом давления подразумевается тело, образованное криволинейной поверхностью  и ее проекций  на свободную поверхность и цилиндрической проектирующей поверхностью (рис. 2.11). Таким образом,

.                              (2.63)

Рис. 2.11. К вычислению силы неравномерного давления

покоящейся жидкости на криволинейную поверхность

Если тело давления заполнено жидкостью (рис. 2.12, а), то сила направлена вниз, в противном случае – вверх (рис. 2.12, б).

Рис. 2.12. Два вида тела давления:

а – заполненное жидкостью; б – «фиктивное»

Если криволинейная поверхность S замкнута и полностью погружена в жидкость, то на нее действует направленная вертикально вверх сила, равная весу жидкости в объеме, ограниченном поверхностью S (закон Архимеда). Линия действия архимедовой силы проходит через центр массы этого объема.

Вопросы для самопроверки:

1. Что понимается под гипотезой сплошности жидкости?

2. Какие величины характеризуют сжимаемость среды?

3. Что называется пьезометрическим напором?

4. На какие две группы делятся силы в зависимости от области приложения?

5. От чего зависит форма поверхностей равного давления в жидкости?

6. Как называется точка приложения равнодействующей силы давления?

ЛЕКЦИЯ 3.КИНЕМАТИКА ГАЗА И ЖИДКОСТИ

Основные определения

Кинематика жидкой среды занимается вопросами движения жидкости и газа независимо от причин его возникновения.

Используя представления механики материальной точки, можно ввести понятие скорости в заданной точке пространства , которая будет именоваться местной (или локальной) скоростью.

Изменение скорости  по величине и направлению от точки к точке пространства требует ее определения в векторной форме. Вектор локальной скорости  и три ее проекции на оси координат , , оказываются функциями четырех аргументов x, y, z, t, т. е.

                                 (3.1)

Общий случай, когда скорость зависит от координат и времени, называется неустановившимся (нестационарным).

Если скорость жидкости не зависти от времени, то движение называется установившимся (стационарным).

Рис. 3.1. Определение пульсационного движения

В некоторых случаях движение может считаться квазиустановившимся, если зависимость от времени не является существенной. Зависимостью от времени можно пренебречь без понижения точности решения, например, если скорость колеблется в небольших пределах и с достаточной частотой относительно некоторого постоянного значения (рис. 3.1).

За некоторое время осреднения  средняя скорость , относительно которой происходят пульсации, равна

.                                (3.2)

Модуль действительной мгновенной скорости  будет равен

,                                    (3.3)

где пульсационная скорость знакопеременна и подчиняется условию

.                                     (3.4)

Определение может быть распространено на пространственное распределение скоростей, тогда средняя скорость равна

,                                    (3.5)

где  – площадь потока жидкости.

При движении жидкости помимо нормальных возникают касательные напряжения, что меняет распределение в пространстве и нормальных напряжений.

В гидродинамике вводится понятие гидродинамического давления с тем же свойством быть постоянным по всем направлениям в данной точке и в гидростатике;

.                            (3.6)

Методы Лагранжа и Эйлера

Описание законов движения может быть выполнено по методу Ж. Л. Лагранжа и Л. Эйлера.

Метод Лагранжа предполагает наблюдение за отдельными материальными объектами – частицами жидкости при их перемещении в пространстве. Итог наблюдений за конкретной частицей с начальными координатами , ,  (рис. 3.2) при перемещении за время  является след , называемый траекторией.

Система функций геометрического характера

;

;                                   (3.7)

,

описывающих траекторию частиц, позволяет найти кинематические характеристики путем дифференцирования:

; ; ,                   (3.8)

а также вторые производные – ускорения:

; ; .               (3.9)

Рис. 3.2. Характер движения жидкости

Метод Эйлера задает поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание задано, если скорости и давления определены в виде

;

;

;                               (3.10)

.

Линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной к ней, называется линией тока. Это основное понятие метода Эйлера. В случае неустановившегося движения в следующий момент движения через ту же точку будет проходить другая линия тока (рис. 3.3, а).

Так как вектор  с компонентами , ,  с элементами  с проекциями , ,  на оси координат, то из условия параллельности векторов следует пропорциональность их проекций:

                           (3.11)

Рис. 3.3. Линия тока (а) и линии завихренности (б)

В случае установившегося движения линия тока сохраняет свое положение в пространстве и совпадает с траекторией.

Каждая частица вращается с угловой скоростью . Линия, во всех точках которой направление векторов  совпадает с касательной к ней, является вихревой линией.

Из того, что вектор  с компонентами , ,  совпадает по направлению с элементом длины вихревой линии , имеющим компоненты , , , то уравнение вихревой линии имеет вид (рис. 3.3, б)

.                           (3.12)

Линии тока могут совпадать с линиями завихренности. Такое движение называется винтовым и определяется следующим образом:

.                           (3.13)

Совокупность линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура , образует элементарную трубку тока (рис. 3.4, а).

Рис. 3.4. Трубка тока (а) и вихревая трубка (б)

Аналогичное образование в поле угловых скоростей называется вихревой трубкой.

Пучок линий тока, проходящих через все точки площадки , ограниченной контуром  называется элементарной струйкой.

Объем жидкости, проходящей через поперечное сечение 1 за время , должен равняться объему жидкости, прошедшему через любое сечение 2 за то же время в случае несжимаемой среды.