Силы, действующие в жидкости. Гидростатическое давление

Гидростатика изучает теорию равновесия и относительного покоя жидкостей и газов. Исходным пунктом условий равновесия является изучение сил, действующих на некоторый объем жидкости.

Силы, приложенные к частицам сплошных сред по характеру действия, могут быть разделены на массовые (объемные) и поверхностные.

В зависимости от области приложения силы подразделяются на внутренние и внешние.

Массовые силы пропорциональны массе выделенного объема и действуют на все частицы этого объема. К массовым силам могут быть отнесены силы различного физического происхождения: силы веса, электромагнитные (силы Лоренца, электростатические и силы, действующие на магнитные жидкости) и различные силы инерции (кориолисова сила, центробежная и др.). Это силы дальнодействия.

Поверхностные силы действуют локально на поверхность выделенного объема. В общем случае поверхностные силы могут иметь составляющие, направленные по нормали и по касательной к площадке действия.

В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали к поверхности выделенного объема жидкости. В движущейся жидкости дополнительно возникают касательные составляющие поверхностных сил, наиболее важными из которых являются силы трения.

В некотором объеме  распределение массовых сил  задается вектором плотности массовых сил , приложенных к частицам этого объема массой  при ее стремлении к нулю, т.е.

.                                (2.10)

Среднее значение вектора плотности массовых сил равно отношению главного вектора массовых сил к величине массы:

.                                  (2.11)

Размерность плотности массовой силы совпадает с размерностью ускорения:

.                       (2.12)

Величина поверхностной силы в общем случае зависит от выбора направления элементарной площадки, поэтому обычно рассматриваются не сами силы, а их напряжения:

,                                    (2.13)

где  – главный вектор поверхностных сил, приложенных к площадке .

Размерность напряжений

.                  (2.14)

В практике используется единица измерения напряжений, называемая технической атмосферой.

1 т.а. = 1 кгс/см² = 736 мм рт. ст. = 10 м вод. ст. = 10⁵ Па.

Отметим, что величина 1 Па = 1 бар = 10^-5 кгс/см² = 0,1 мм вод. ст.

Рассмотрим равновесие элементарного жидкого объема под действием поверхностных и объемных сил.

Выделим в жидкости элементарный тетраэдр с ребрами  (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Силы, действующие на элементарный тетраэдр

Обозначим площадки действия элементарных сил соответственно  и

Поверхностные силы, действующие на элементарный тетраэдр, пропорциональны второй степени его размеров и имеют второй порядок малости, а объемные – пропорциональны третьей степени размеров и являются величинами третьего порядка малости.

Выделение произвольно ориентированной площадки  внутри жидкости (рис. 2.3) показывает, что в покоящейся жидкости касательная составляющая  и, следовательно, полная величина напряжения, или элементарной поверхностной силы, совпадает с ее нормальной составляющей: .

Рис. 2.3. Составляющие силы , действующей

на ориентированную площадку

Для равновесия выделенного элементарного объема необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на оси декартовой системы координат была равна нулю:

;

;                            (2.15)

,

где  – орт нормали к наклонной грани.

Относя величины элементарных сил к площади граней, на которые они действуют, получим

;

;                     (2.16)

.

Поскольку , ,  являются проекциями наклонной грани на плоскости , получим

;

;                         (2.17)

.

Подстановка с учетом  позволяет записать

.                              (2.18)

Этот вывод носит название закона Паскаля и гласит, что давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Иначе, давление в жидкости, определенное в заданной точке, не зависит от ориентации площадки действия и является функцией только координат:

.                                 (2.19)

Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами , выделенного в покоящейся жидкости (рис. 2.4).

Рис. 2.4.Силы, действующие на элементарный параллелепипед

На единицу массы жидкости действует массовая сила плотностью  с составляющими , , . В ряде случаев для составляющих массовых сил используются обозначения , , . Если величина давления является возрастающей функцией координат, а в точке параллелепипеда  действует давление , то на соответственно противоположных гранях давления равны:

 и ;  и ;  и          (2.20)

при смещениях на ,  и  соответственно.

Уравнение равновесия в проекции на ось  с учетом величины элементарного объема  имеет вид

             (2.21)

или

.                                        (2.22)

Аналогично, в проекциях на оси координат  и  получим

;                                       (2.23)

.                                       (2.24)

Это уравнения Эйлера или основные уравнения гидростатики.

Эту систему переписывают в виде

                               (2.25а)

или

                               (2.25б)

Поскольку

                             (2.26)

и

,                 (2.27)

то система может быть переписана в векторной форме:

                                   (2.28)

Умножая последовательно систему уравнений в проекциях на дифференциалы координат , ,  и складывая, получим

         (2.29)

Правая часть уравнения является полным дифференциалом, поэтому и левая часть есть полный дифференциал, следовательно,

                            (2.30)

где

                         (2.31)

В случае изотропной жидкости ( )

,                          (2.32)

где  – потенциал массовых сил и

                           (2.33)

В этом случае

                                          (2.34)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии в случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал.

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называется поверхностью уровня. При  уравнение поверхности уровня будет

                               (2.35)

или .

Следовательно, поверхность уровня – это одновременно и эквипотенциальная поверхность.

Для тяжелой несжимаемой жидкости при отсутствии других массовых сил, кроме сил тяжести, имеем

 и                                     (2.36)

поэтому уравнения равновесия принимают вид

; ; .                          (2.37)

Первые два уравнения выражают независимость давления от координат  и , поэтому поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Интегрирование последнего уравнения дает при постоянных  и  выражение

                                    (2.38)

Если начало координат совмещено со свободной поверхностью покоящейся жидкости, на которой действует постоянное давление , то при  (рис. 2.5).

При получим

                            (2.39)

где  – глубина погружения под свободную поверхность, направленная против направления оси .

Основной закон гидростатики, следовательно, гласит: давление в любой точке жидкости, находящейся в покое, равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.

Рис. 2.5. Связь между направлением оси

и глубиной погружения под свободную поверхность

Примером использования основного закона гидростатики является работа сообщающихся сосудов (рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Сообщающиеся сосуды

Давление в плоскости 0-0 следует считать одинаковым из условия сохранения равновесия жидкости, поэтому

                                 (2.40)

что дает

                                  (2.41)

Равновесие весомого газа

При больших высотах столба газа величина плотности зависит от высоты. Записав уравнение

                                          (2.42)

введем связь между давлением  и плотностью . Эта зависимость дается, например законом Бойля-Мариотта, верным при постоянной температуре. По этому закону

.                                   (2.43)

Подстановка позволяет записать

                           (2.44)

Распределение давления имеет вид

                                      (2.45)

где

Отсюда следует барометрическая формула для двух высот  и .

                               (2.46)