Кривые второго порядка. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Эллипс. Гипербола. Парабола.

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением ( коэф-ты при произведении переменных и при их первых степенях обозначены 2B,2D и 2E, так как ниже часто будут употребляться половины этих коэф-тов)

    (1)

 в котором коэф-ты A,B и C не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которое ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид ур-я (1) не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол φ старые координаты точки x,y будут связаны с ее новыми координатами x’, y’ формулами ( , ) ,

, .

В новых координатах ур-е (1) примет вид

Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно x’ ,y’ и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением x’y’ в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэф-та при x’y’ есть

.

Если B=0, то переворачивать систему координат не будем. Если , то выберем угол φ так, чтобы B’ обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению

                               2Bcos2φ=(A-C)sin2φ                       (2)

Если A=C , то cos2φ=0, и можно положить φ=п/4. Если же , то выберем . Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота система координат на этот угол линия будет иметь уравнение

                      (3)

Выражение для коэф-тов уравнения (3) через коэф-ты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэф-т при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по- прежнему считаем произвольными.

Предложение1. Если в уравнении (3) входят с ненулевым коэф-том квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, . Перепишем (3) в виде

Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами x’’=x’+D’/A’, y’’=y’, то уравнение приведется к виду

.

Как и требовалось доказать.

A. Преположим, что , т.е. оба коэф-та отличны от нуля. Согласно предположению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду

                                   (4)

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэф-тов в этом уравнении.

A1. - коэф-ты A’ и C’ имеют один знак. Для F’’ имеются следующие три возможности.

A1a. Знак F’’ противоположен знаку A’ и C’. Переносим F’’ в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид            ,                           (5)

где  Можно считать, что в этом уравнении a>0,b>0 и a≥b. Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат         x*=y’’, y*x’’.                     (6)

Оределение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть заданна уравнением (5) при условии a≥b, называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнениемэллипса, а система координат- его канонической системой координат.

При a=b уравнение (5) есть уравнение окружности радиуса a.Таким образом, окружность – частный случай эллипса.

A1б. Знак F’’ совпадает с общим знаком A’’ и C’’. Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду .                 (7)

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду (7) называется уравнением мнимого эллипса.

A1в. F’’=0. Уравнение имеет вид                      .  (8)

Ему удовлетворяет только одна точка x’’=0, y’’=0/ Уравнение, приводящееся к каноническому виду (8), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением (10).

A2. A’C’<0 – коэф-ты A’ и C’ имеют разные знаки. Относительно F’’ имеются следующие две возможности.

A2a.F’’ 0. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что знак F’’ противоположен знаку A’. Тогда уравнение приводится к виду

                                                       (9)    где .

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (9), называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнениемгиперболы, а система координат – ее канонической системой координат.

A2б.F’’=0. Уравнение имеет вид                      .        (10)

Его левая часть разлагается на множители ax’’-cy’’ и ax’’+cy’’ и, следовательно. Обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сомножителей. Поэтому линия с уравнением (10) состоит из двух прямых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых.

Б. Допустим теперь, что A’C’=0, и, следовательно, один из коэф-тов A’ или C’ равен нулю. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что A’=0. При этом С , так как иначе порядок уравнения был бы равен 1, а не 2. Использую предложение 1, мы приведем уравнение к виду

Б1. Пусть D’ .Сгруппируем члены следующим образом:

.

Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода . Тогда уравнение примет вид

или                              (11)

где p=-D’/C’. Мы можем считать, что p>0, т.к. в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс:  , .

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (11) при условии p>0, называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат- ее канонической системой координат.

Б2. Допустим, что D’=0. Уравнение имеет вид . Относительно F’’ есть следующие три возможности.

Б2а.C’F’’<0- знаки C’ и F’’- противоположны. Разделив на C’, приведем уравнение к виду

          .                     (12).

Левая часть уравнения разлагается на множители y’’+a и y’’-a. Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.

Б2б. С’F’’>0 – знаки C’ и F’’совпадают. Разделив на C’, приведем уравнение к виду

                                                          (13)

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническое виду (13), называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.

Б2в. F’’=0. После деления на C’ уравнение принимает вид

                                                             (14)

Это уравнение эквивалентно уравнению y’’=0, и поэтому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (14), называется уравнением пары совпавших прямых.

Соберем вместе полученные результаты.

Теорема1. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка(1).

Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1)             2)    

3)

4)    5)       6)

7)           8)            9)

В соответствии с этим существует семь классов линий второго порядка
:1)эллипсы;3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых);4)гиперболы;5)пары пересекающихся прямых;6)параболы;7)пары параллельных прямых ;9)прямые (пары совпавших прямых).

Уравнения 2)мнимого эллипса и уравнению 8)пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка.

Эллипс.

Эллипсом наз-ся линия, которая в прямоугольной декартовой системе координат определяется канонич. уравнением

                                      (1)

при условии a≥b>0.

Из уравнения (1) следует, что для всех точек эллипса |x|≤a и |y|≤b. Значит эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2a и 2b.

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (a,0), (-a,0), (0,b), и (0,-b), называются вершинами эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Предложение 1.Оси канонической системы координат яв-ся осями симметрии эллипса, а начало канонической системы - его центром симметрии эллипса.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса a с центром в центре эллипса: . При каждом x таком, что |x|<a, найдутся две точки эллипса с ординатами  и две точки окружности с ординатами . Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшается в одном и том же отношении b/a.(рис.28)

С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению                                                    (2)

и c≥0. Фокусами называют точки  и  с координатами (с,0) и (-с,0) в канонической системе координат(рис.29).

Для окружности с=0, и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не яв-ся окружностью. Отношение                                               (3)

называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что ε<1.

Предложение 2. Расстояние от произвольной точки M(x,y), лежащий в эллипсе, до каждого из фокусов яв-ся линейной ф-цией от ее абсциссы x

   (4).

Док-во. Очевидно, . Подставим сюда выражение для , найденное из уравнения эллипса. Мы получим

.

Учитывая равенство (2), это можно преобразовать к виду

Так как x≤a и ε<1, отсюда следует, что справедливо первое из равенств (4): . Второе равенство доказывается аналогично.

Предложение3. Для того ,чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2a

Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4) почленно, то увидим, что

                                                       (5)

Докажем достаточность. Пусть для точки M(x,y) выполнено условие (5), т.е

 .

Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:

.                                (6)

Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение (2). Мы приведем к равенству , равносильно уравнению эллипса (1)

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнение в канонической системе координат (рис.30) ,                                                         (7)

Предложение 4.Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса ε.

Докажем это предложение для фокуса . Пусть M(x,y) - произвольная точка эллипса. Расстояние от M до директрисы с уравнением  по формуле (расстояние от точки до прямой) равно

из формулы (4) мы видим теперь, что

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости , т.е.

.

Т.к. ε=с/a, это равенство легко приводиться к виду (6), из которого следует уравнение эллипса.

Введем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть - точка на эллипсе и . Через  проходит график некоторой ф-ции y=f(x), который целиком лежит на эллипсе. Для нее выполнено тождество

.

Дифференцируем его по x:

 Подставляя  и , находим производную от f в точке , равную угловому коэф-ту касательной.

Теперь мы можем написать уравнение касательной:

 .

Упрощая это уравнение, учтем, что  , т.к. лежит на эллипсе. Результату можно придать вид

                                               (8)

Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке  есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Док-во. Нам надо сравнить углы  и  составленные векторами  и  с вектором n, перпендикулярным касательной (рис.31). Из уравнения (8) находим, что n( ), и поэтому

Используя (4), мы получаем отсюда, что cos =1/(a|n|). Аналогично находим cos =1/(a|n|).. Предложение доказано.

Гипербола.

Гиперболой мы называли линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением                                        (9)

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы |x|≥a т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2a(рис.32). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами (a,0) и (-a,0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух , не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа a и b называют соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

В точности так же как и для эллипса док-ся

Предложение 6. Для гиперболы оси канонической системы координат яв-ся осями симметрии, а начало канонической системы - центром симметрии.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде y=kx, поскольку мы уже знаем, что прямая x=0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения находятся из уравнения

.

Поэтому если ,то    

Это позволяет указать координаты точек пересечения (ab/υ, abk/υ) и (-ab/υ, -abk/υ), где обозначено υ=( .

Определение. Прямые с уравнением y=bx/a и y=-bx/a в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Запишем уравнения асимптот в виде bx-ay=0 и bx+ay=0. Расстояние от точки M(x,y) до асимптот равны соответственно ,        

Если точка M находится на гиперболе, то   и

Предложение 7.Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно .

Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

Действительно, хотя бы одно из расстояний  или  при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было бы неверно, произведение не было бы постоянно.

Введем число с, положив                              (10)

и с>0. Фокусами гиперболы называются точки  и  с координатами (с,0) и (-с,0) в канонической системе координат

Предложение 9. Расстояние от произвольной точки M(x,y) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы x:

,     ь (11)

Предложение 10. Для того чтобы точка M лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2a.

Необходимость условия уже доказана. Для док-ва достаточности условия его нужно представить в виде

Дальнейшее отличается от док-ва предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2)

Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями  ,                                      (13)

Предложение 11. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялась эксцентриситету ε.

Уравнение касательной к гиперболе в точке , лежащей на ней, выводится так же, как в соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид

                             (14)

Предложение 12. Касательная к гиперболе в точке  есть биссектриса угла между отрезками, соединяющему эту точку с фокусами.

3. Парабола.

Параболой мы называли линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

                              (15)

при условии p>0

Из уравнения (15) вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокусом параболы называется точка F с координатами (p/2,0) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением x=-p/2 в канонической системе координат

Предложение 13.Расстояние от точки M(x,y), лежащей на параболе, до фокуса равно

                               (16)

Для док-ва вычислим квадрат расстояния от точки M(x,y) до фокуса по координатам этих точек : и подставим сюда  из канонического уравнения параболы. Мы получаем .

Отсюда в силу x≥0 следует равенство (16). Заметим, что расстояние от точки M до директрисы равно Отсюда вытекает необходимость следующего условия.

Предложение14Для того чтобы точка M лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директриссы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка M(x,y) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:

Возведя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы (15).Это заканчивает док-во.

Параболе приписывается эксцентриситет ε=1. В силу этого соглашения формула

 верна и для эллипса, и гиперболы, и для параболы

Введем ур-е касательной к параболе в точке, лежащей на ней. Пусть 0. Через точку проходит график ф-ции y=f(x), целиком лежащий на параболе.

Для ф-ции f(x) выполнено тождество , дифференцируя которое имеем 2f(x)f’(x)=2p. Подставляя x=  и   находим  . Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе   

Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним . Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид                                 (17)

Предложение 15.Касательная к параболе в точке  есть биссектриса угла , смежного с углом между отрезком, который соединяет  с фокусом и лучом , выходящим из этой точки в направлении оси параболы.

Док-во. Рассмотрим касательную в точке . Из ур-я (17) получаем ее направляющий вектор . Значит,  и = . Вектор  имеет компоненты  и , а потому

fтавляямеем 2 араболе.к параболе для параболы

одобные члены, мы получаем из него уравнение педеляется уравнением

Но = . Следовательно, = . Это заканчивает док-во.