Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбца)

Высшая алгебра и аналитическая геометрия

Матрицы, операции над ними. Определитель, свойства определителей. Нахождение обратной матрицы. Ранг матрицы.

Матрица и действия с матрицами

Опр.Таблица чисел

называется числовой матрицей размерности m n, числа  - элементами матрицы А. Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Рассмотрим множество матриц размерности m n.

Опр.Суммой двух матриц  и  называется матрица .

Опр.Произведение матрицы  на число называется матрица .

Очевидно, что выполняются следующие свойства операций:

1)А+В=В+А; 2) (А+В)+С=А+(В+С); 3)( +1)А= А+А; 4) (А+В)= А+ В; 5) ( А)=( )А; 6)1А=А; 7)существует нулевой элемент  такой, что А+О=А; 8)существует противоположный элемент  такой, что А+(-А)=О.

Здесь А, В, С – любые матрицы одинаковой размерности, ,  - любые числа.

Опр.Множества, в которых введены 2 операции, связанные свойствами 1)-8) называются линейными пространствами.

Итак, множество матриц одинаковой размерности образует линейное пространство с определенными выше операциями.

Опр.Произведением матриц  и  называется матрица  где .

Замечание.Определение корректно (имеет смысл) только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу столбцов строк матрицы В. Уже в числу этого умножение не обладает свойством коммутативности: АВ ВА. Перестановочности, вообще говоря, нет и тогда, когда оба произведения имеют смысл.

Пример:Найти произведение матриц и проверить перестановочны ли они.

=

Произведение ВА не имеет смысла. Значит, АВ ВА.

Опр.Матрица n-го порядка Е называется единичной матрицей n-го порядка, если у нее все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные равны 0.

Из определения произведения следует, что АЕ=ЕА=А, если А также матрица n-го порядка.

Другие свойства операции умножения:

1) (А+В)С=АС+ВС;

2) А(В+С)=АВ+АС;

3) ( А)В=  (АВ);

4) (АВ)С=А(ВС);

5) 0А=А0=0, если операции сложения и умножения имеют смысл.

Докажем, например, свойство 4). Для элемента i-й строки и k-го столбца (АВ)С имеем (считая , , )

.

Получили элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы А(ВС), что требовалось доказать.

Определитель и их свойства

Опр.Пусть А – квадратная матрица порядка n. Число

     (1)

называется определителем матрицы А (другие обозначения: det A, det||a_ij||), где  - число инверсий в перестановке  или, что то же самое, в подстановке .

Заметим, что каждое слагаемое определителя n-го порядка в качестве сомножителей содержит по одному элементу с каждого столбца и с каждой строки; число слагаемых равно числу перестановок из n элементов, т.е. равно n!.

Рассмотрим, определите 2-го и 3-го порядка. При n=2 получим

.

При n=3 имеем

.

Докажем следующие свойства определителей.

1. При транспонировании (замене строк столбцами с теми же номерами) определитель не меняется местами.

Доказательство. Переставим сомножители в каждом слагаемом определителя (1) так, чтобы вторые индексы давали перестановку (1, 2, …, n). Получим произведение . При этом перестановка  имеет ту же четность что и , так как при перестановке столбцов подстановки четность ее не меняется. Тогда вместо  можно писать . Но индексы суммирования можно обозначать любыми буквами, поэтому заменяя j на i получим .                          (2)

Сложив (1) и (2) и поделив на 2 получим

.

Отсюда видно, что

Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

Действительно, каждое слагаемое в (1) содержит сомножитель из нулевой строки, равный нулю, поэтому |A|=0.

2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то он поменяет знак.

Доказательство. Если переставим k-ю и s-ю строку, то вместе слагаемого в определителе (1) возникает слагаемое , которое отличается лишь знаком, так как перестановки  и  имеют разную четность. Итак, определители также отличаются лишь знаками. Утверждение для столбцов получится, если использовать свойство 1.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, если переставить одинаковые строки, то определитель не меняется. С другой стороны, в силу свойства 3, определитель меняет знак. Значит, |A|= -|A|. Отсюда, |A|=0.

4. Если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число , то определитель умножается на . Действительно, в каждом слагаемом суммы (1) вместо  возникает , если умножаются элементы k-й строки. Вынося за скобки (за знак суммы) получим то, что требовалось.

5. Если элементы k-й строки (столбца) определителя имеют вид , то он равен сумме двух определителей, которые отличаются от исходного определителя только k-ми строками (столбцами): у одного определителя k-я строка (столбец) состоит из , у другого – из .

6. Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на какое-либо число, то определитель не изменяется. Для доказательства к новому определению применяем свойства 6, 5, 4.

Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбца)

Опр.Определитель матрицы, получаемой при вычеркивании матрицы А нескольких строк и столбцов, называется минором матрицы А.

Очевидно, что надо вычеркивать столько строк и столбцов, чтобы оставшаяся матрица была квадратной, иначе нельзя найти ее определитель. Если матрица А была квадратной, то вычеркиваются одинаковое число строк и столбцов. Если вычеркиваем i-ю строку и j-й столбец, то минор обозначается М_ij и называется минором элемента а_ij, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Опр.Число А_ij=(-1)^i+jM_ij называется алгебраическим дополнением элемента а_ij .

Теорема.Если ,  то и это представление называется разложением определителя по элементам i-й строки.

Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай

,

т.е.  при . Тогда

2. Рассмотрим случай , т.е. в i-й строке только элемент j-го столбца может отличаться от нуля. Тогда i-ю строку переставляя с соседними переводим на первую строку. При этом знак определителя меняется i-1 раз. Далее, j-й столбец переводим на первый столбец, переставляя с соседними столбцами. При этом знак определителя меняется j-1 раз. Итак, учитывая предыдущий случай, получим .

3. Общий случай. Представим определитель |A| как сумму определителей |A_k| таких, что у всех определителей строки, за исключением i-й строки, совпадают со строками определителя |A|. Для определителя |A_k| i-я строка имеет вид (0, …, 0, a_ik, 0,…, 0). Используя предыдущий случай, получим

,

что требовалось доказать.

Замечание.Определитель можно разлагать и по элементам столбца.

Следствие.Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Действительно, сумма  представляет разложение по k- й строке определителя, у которого k-я строка совпала с i-й строкой. А определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Пример.Найти определитель .

Разлагаем по элементам 1-го столбца. Получим

|A|=2(-1)¹⁺¹ 2(12+8+30+10-48+6)-3()3+0+45-0- 12+9=36-135=-99.

Обратная матрица

Опр.Пусть А – матрица n-го порядка. Матрица А^-1 называется обратной к А, если А^-1А=АА^-1=Е. если существует А^-1, то А называется обратимой.

Замечание.Если А^-1 существует, то она единственная.

Действительно, пусть А^’ другая, обратная к А. тогда умножая А^-1А=Е на А^’ справа получим

(А^-1А)А^’=ЕА^’ А^-1(АА^’)=А^’ А^-1Е=А’ A^-1=A^’, что требовалось доказать.

Теорема.А^-1 существует тогда и только тогда, когда det A 0 (если det A 0, то матрица А называется невырожденной).

Док-во.Необходимость. Дано, что А^-1 существует. Тогда АА^-1=Е |A||A^-1|=|E|=1. Значит, |A| 0, иначе 0=1, что невозможно.

Достаточность. Дано, что |A| 0. Заменим в матрице А все элементы их алгебраическими дополнениями. Полученная матрица называется присоединенной матрицей. Транспонируем присоединенную матрицу и разделим каждый ее элемент на =|A| 0. Проверим, что получили обратную матрицу. Элемент с_ik произведения

имеет вид 

.

При i=k в числителе имеем разложение |A| по k-й строке, поэтому с_kk= / =1. При i k в числителе имеем сумму произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения элементов другой k-й строки, что дает нуль. Итак, с_ik=0 при i k. Значит, АА^-1=Е. Аналогично проверяется, что А^-1А=Е.

Пример.Найти А^-1, если она существует, А= .

Имеем |A|= -3+6+0-8-2-0= -7 0. Значит, А^-1 существует.

= -5, = -17, А₁₃= -1,   

А₂₁= -(-2)=2, А₂₂=11, А₂₃= -1,

А₃₁=2, А₃₂= -(-4)=4,        А₃₃= -1.

Тогда присоединенная матрица имеет вид

.

Транспонируем  и делим все элементы на |A|= -7. Получим обратную матрицу

.