Методы нахождения ранга матрицы.

 1-й способ: Доказательство теоремы о ранге матрицы дает метод нахождения ранга с помощью окаймляющих миноров. Если найдется минор r-го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры (r+1)-порядка равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Пример.Найдем ранг матрицы А=

Минор = -2+3=1 0. Значит, к 2.

Окаймляющий минор = -8+0-20-0+16+12=0

Другой окаймляющий минор = -10+0-4-0-12+15= -11 0. Значит, r 3.

Окаймляющий минор .

Других миноров 4-го порядка нет. Значит, r<4. Тогда к=3.

 2-й способ: В силу теоремы ( Если  линейно независима, то прибавление к элементу линейной комбинации остальных приводит к линейно независимой системе ) при элементарных преобразованиях строк ранг матрицы не меняется. По этой причине ранг матрицы можно найти с помощью элементарных преобразований строк (или столбцов), приводя матрицу к ступенчатому виду. Число нулевых строк такой матрицы будет равен рангу.

Пример: А= . Прибавим ко второй строке 1-ю, умноженную на (-2), к 3-й строке прибавим 1-ю. Получим . Вычитая из 3-й строки 2-ю получим . Значит, ранг равен 2.

Система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Опр.Система

            (1)

называется СЛУ из m уравнений с n неизвестными . Можно считать, что коэффициенты a_ij С.

Опр.Упорядоченный набор чисел (с₁,…,с_n) называется решением системы (1), если при подстановке в систему (1) эти числа превращают уравнения в верные равенства.

Опр.Если решений нет, то система называется несовместной (противоречивой); если существует бесконечно много решений, то система называется неопределенной; если существует единственное решение, то определенной.

Опр. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений.

Следующие преобразования системы называются элементарными:

 1) перестановка местами двух уравнений;

 2) отбрасывание из системы уравнений вида ;

 3) умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

 4) прибавление к одному из уравнений другого, умноженного на какое-либо число.

Рассмотрим СЛУ (1). Введем матрицы

, , .

Тогда система (1) запишется в виде AX=B.

Теорема.Если m=n (т.е. число уравнений равно числу неизвестных, т.е. А – квадратная матрица) и = det A 0, то                                 X=A^-1B.                                 (2)      

Доказательство. Поскольку det A 0, то А^-1 существует. Умножим слева равенство AX=B на А^-1. Получим А^-1(AX)= А^-1B ( А^-1A)X= А^-1B X= А^-1B, что требовалось доказать.

Замечание.Формула (2) дает матричный метод решения систем линейных уравнений.

Из формулы (2) можно вывести метод определителей (правило Крамера). Учитывая введение обозначения, равенство (2) запишем более подробно:

= .

Отсюда

   (3).

Учитывая разложение =  по k-му столбцу замечаем, что получается заменой k-го столбца определителя =|A| на столбец из свободных членов В. Формулы (3) дают правило Крамера для решения СЛУ, когда число неизвестных равно числу уравнений и определитель системы 0. При этом система имеет единственное решение. Если =0 и все =0, то система имеет бесконечно много решений. Если =0 и некоторый определитель 0, то система не имеет решения.

Пример. Решить систему

матричным методом и методом Крамера.

а) найдем определитель системы

= -8-9+15-5-18-12= -37.

0, значит, А^-1 существует. Найдем присоединенную матрицу и транспонируем ее:

,       .

Тогда обратная матрица А^-1 имеет вид

 .

Значит, решение записывается в виде

.

Итак,  

б) ранее нашли = -37. Найдем определители неизвестных:

= -4-12+6-2-9-16= -37, = -32+6-15-20+12+12= -37, =4-9-20-5+24+6=0.Тогда