Вычисление определителей специального вида

1. Определитель треугольного вида (элементы под главной диагональю равны нулю):

                  ,т.е.  равен произведению элементов главной диагонали (разлагали определители по элементам 1-го столбца).

2. Вычисление блочного определителя:

Доказательство. Применим метод математической индукции по n:

а) при n=1 имеем (разлагая по первому столбцу) ;

б) предположим, что равенство верно для n;

в) докажем, что равенство верно для n+1. Разложим |D| по 1-му столбцу:                   

По предположению индукции б) (каждый минор  определителя |D| есть блочный определитель, где роль А играет определитель порядка n, а роль В играет В) имеем , где  – минор матрицы А. Тогда , ч.т.д.

3. Показать, что , где .

4. Показать, что , где .

5. Показать, что , где .

Ранг матрицы

Пусть А=  матрица с . Строки – это векторы .

Опр.Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называется рангом матрицы А.

Теорема.Ранг матрицы А равен наибольшему порядку миноров матрицы А, отличных от нуля.

Док-во:Пусть наибольший порядок минора, отличного от нуля, равен r. Не уменьшая общности считаем, что этот минор образуется элементами первых r строк и первых r столбцов (т.е. находится в левом верхнем углу). Иначе переставляем строки-векторы. При перенумерации векторов система векторов не имеет ранга. Далее переставляем у всех векторов координаты (т.е. перенумеруем их). Это также не влияет на ранг. Итак, пусть    Рассмотрим определитель

Имеем , если 1  (ибо содержит две одинаковые строки); , если (т.к. содержит два одинаковых столбца); , если k>r,g>r (ибо миноров, отличных от нуля порядка r+1 быть не может). Итак,  всегда. Разложим его по последнему столбцу: . Значит, , j = 1,2,…,n.

Отсюда получим, что k-я строка (k>r), т.е. вектор -линейная комбинация первых r векторов-строк: .

Значит, ранг матрицы не может быть больше r. Если бы ранг был меньше r, то первые r строк матрицы оказались бы линейно зависимыми. Тогда строки определителя (минора) М тем более были бы линейно зависимыми. По теореме ( Если  линейно зависима, то существует , равной линейной комбинации остальных ) нашлась бы строка, равная линейной комбинации остальных строк. Вычитая из этой строки линейную комбинацию остальных, мы получили бы определитель с нулевой строкой. Он равен нулю. С другой стороны, определитель не меняется, т.е равен М . Значит, ранг меньше r быть не может. Итак, ранг матрицы А равен r.

Следствие. Ранг матрицы по столбцам ( максимальное число линейно независимых столбцов) матрицы равен рангу матрицы по строкам (т.е. рангу матрицы).