Фундаментальная система решений однородных СЛАУ. Общее решение.

Пусть            (1) – некоторая СЛУ

Система           (2) называется однородной СЛУ, соответствующей системе (1). Очевидно, что (0,ююю,0) является решением (2), т.е. система (2) всегда совместна. Значит, система (2) имеет или единственное (называемое нулевым, тривиальным) решение (0,…,0) или имеет бесконечно много решений.

Применим к системе (2) метод Гаусса. Получим систему ступенчатого вида из rуравнений, где r – ранг матрицы системы (в случае необходимости переобозначаем переменные):      

Считая  свободными переменными, получим

(3)

При фиксированных  значения  определяются единственным образом.

Лемма.Если  решения системы (2), то  является решением системы (2) при , т.е. совокупность решений (2) образует линейное пространство.

Док-во:Пусть AX=0 – матричная запись системы (2). Тогда , т.е.  действительно удовлетворяет системе (2).

Теорема.Фундаментальная система решений (2) содержит (n-r) решений, т.е. размерность пространства решений системы (2) равна числу свободных переменных.

Док-во: Построим конкретную фундаментальную систему решений (2).

Положим  и найдем из (3) .

Положим  и найдем из (3)
и т.д. Положим  и найдем из (3) .

Покажем, что

Образуют фундаментальный набор решений системы (2).

А) Система  линейно независима. Действительно, если , то такая же зависимость существует между соответствующими координатами. Для (r+1)-x координат получим , т.е. . Аналогично из зависимостей (r+2)-x,…,n-x координат получим ,…, . Итак,  линейно независимы.

Б) Пусть X=  - произвольное решение системы (2). Рассмотрим . По лемме X’ является решением. По этой же лемме

,где  является решением системы (2). Но, поскольку  для X-X’, то из (3) получим .

Итак, , т.е. X-X’=0, X=X’, X= . Значит,  линейно независимые решения, а любые n-r+1 решений образуют линейно зависимую систему. По определению размерности (размерностью линейного пространства X называется максимальное число линейно независимых элементов пространства X. ) получим, что размерность пространства решений равна n-r.

Следствие 1.Совокупность решений системы (2) задается формулой

             (4),

где r – ранг матрицы системы, n – число неизвестных в системе,  - фундаментальный набор решений системы (2).

Док-во:Любой вектор X, задаваемый формулой (4) является решением системы (2) по лемме. Обратно, любое решение X системы (2) можно записать в виде равенства (4). Это показано при доказательстве предыдущей теоремы. Итак, в формуле (4) содержатся все решения и формула (4) не содержит ничего кроме решений, что и требовалось доказать.

Формула (4) называется общим решением системы (2). Задавая конкретные числовые значении, получаем частные решения системы (2).

Следствие 2.Общее решение системы (1) задается формулой(если система (1) совместна)

              (5)

где  - фундаментальный набор решений системы (2), -какое-либо решение системы (1).

Док-во: Записывая систему (1) в виде AX=B и подставляя X получим, что . Значит формулой (5) определяются решения системы (1). Обратно, если X – произвольное решение системы (1), то -решение системы (2), так как . Значит, по следствию1 найдутся  такие, что . Отсюда .

Итак , формула (5) содержит все решения системы (1) и не содержит ничего, кроме решений. Значит, формула (5) задает общее решение системы (1).