Преобразование аффинной системы координат

Возьмем на плоскости две аффинные системы координат  и . Первую назовем старой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе  имеет координаты х,у, а в новой системе  - координаты  (рис. 39).

, , ,         (3)

выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты  этой точки в новой системе.

Из формул (3) следует, что

; ; .             (4)

 (по правилу треугольника).

Так как , , то по определению координат точки , , т.е. ; .

Тогда, используя формулы (4), получим:

,

т.е. ,

откуда находим:

(5) ;

. Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе  через ее координаты в новой системе .

Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.

Коэффициенты , при - координаты нового вектора в старой системе ; коэффициенты , при  - координаты нового вектора  в старой системе, свободные члены ,  - координаты нового начала  в старой системе:

Координаты точки М

в новой системе

Координаты точки М в старой системе

Координаты нового вектора  в старой системе

Координаты нового вектора  в старой системе

Координаты нового начала  в старой системе

Таблица  называется матрицей перехода от базиса ,  к базису , .

Частные случаи преобразования аффинной

Системы координат

1. Перенос начала.

  При этом преобразовании , , а  (рис. 40).

Найдем координаты векторов  и  в старой системе, т.е. , ,  и :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Тогда формулы (5) примут вид:                                                       

Формулы (6) называются формулами переноса начала.

2. Замена координатных векторов.

При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 41).

Так как , то , . Тогда формулы (5) примут вид:

; .

Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.

Понятие направленного угла между векторами.