Основные аффинные и метрические задачи

Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь, объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.

Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.

Основные аффинные задачи

1. Координаты вектора, заданного двумя точками.

Теорема 1. Если в аффинной системе координат  и , то .

Представим вектор  в виде разности векторов  и :

.

Так как , то по определению координат точки . Аналогично . Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор  имеет координаты Þ .

2. Деление отрезка в данном отношении.

Говорят, что точка М делит направленный отрезок  в отношении, если выполняется векторное равенство:

.                                        (1)

Число  при этом называется простым отношением трех точек М₁, М₂ и М. Простое отношение трех точек М₁, М₂ и М обозначается так: .

Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?

Пусть М₁ М₂ и точка М делит направленный отрезок  в отношении l=-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении

,

т.е. Þ Þ . А так как начало у векторов  и  общее и они равны, то М₁=М₂. Получили противоречие с условием, следовательно, .

Из векторного равенства (1) следует, что если , то , т.е. точка М совпадает с точкой М₁; если l>0, то точка М лежит внутри отрезка  (рис. 36), т.е. ; если l<0, то точка М лежит на прямой  вне отрезка  (рис. 37), т.е.  или .

Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат , . Тогда координаты точки , делящей направленный отрезок  в отношении , находятся по формулам:

; ; .                          (2)

По определению деления отрезка в данном отношении .

, откуда получаем: ; ; .

Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.

Из теоремы 2 получаем

Следствие. Если М(х;у;z) – середина отрезка М₁М₂ с концами  и , то , , .

Так как М – середина М₁М₂, то Þl=1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:

, , .

Основная метрическая задача

Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в прямоугольной декартовой системе координат , , то расстояние АВ между точками А и В находится по формуле:

.

 Учитывая, что ,  и используя формулы для нахождения длины вектора в координатах, получаем:

.

Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.

Лекция 8

Формулы преобразования координат