Правило построения разности двух векторов

Элементы векторной алгебры

Лекция 1

Векторы. Линейные операции над векторами

Понятие вектора

Направленным отрезком называется отрезок, у которого указаны начало и конец. Обозначение:

Векторомназывается направленный отрезок. Обозначение:  (рис. 1).

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Обозначение: .

Векторы  и  называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи [AB)и [CD)сонаправлены (противоположно направлены). Обозначение:  ( ).

На рис. 2 , .

Векторы и  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: || .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы  и  называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Обозначение длины вектора : .

Длина нулевого вектора равна 0, т.е. .

Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

В пространстве существует бесконечное множество единичных векторов.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и длины их равны. Обозначение: .

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и длины их равны.

Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Откладыванием вектора  от точкиАназывается процесс построения такой точки М, что .

А

Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов  и  обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы  и , надо взять произвольную точку и от нее отложить последовательно сначала вектор , затем вектор . Вектор, начало которого совпадает с началом вектора  (т.е. первого вектора), а конец – с концом вектора  (т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4 .

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В иС .

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы  и , надо привести их к общему началу, т.е. взять произвольную точкуА, построить такие точки В и С, что  и , и достроить полученную фигуру до параллелограмма . Вектор  - искомая сумма (рис. 5).

По правилу параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой трех векторов  и  называется вектор . Учитывая свойство 4⁰, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде .

Суммой n векторов называется вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму nвекторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора), есть искомая сумма.

Разностью векторов  и  называется такой вектор , что . Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторов  и  обозначается так: .

Правило построения разности двух векторов

Чтобы построить разность векторов  и , надо привести их к общему началу. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора (т.е. вектора ), а конец – с концом первого (т.е. ), есть искомая разность .

По правилу треугольника

,

откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:

.

Умножение вектора на число

Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора на число.

Произведением вектора  на действительное число a называется вектор , обозначаемый через  и удовлетворяющий двум условиям:

1) его длина ;

2) если a 0, то ; если <0, то .

Алгоритм построения произведения вектора число a таков.

Берем произвольную точку М. Проводим луч , сонаправленный с вектором , если a 0, и противоположно направленный с вектором , если <0. На луче  от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в  раз больше длины вектора . Вектор  - искомый вектор .

Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если  - данный вектор.

Возьмем произвольную точку А. Так как <0, то проводим луч  (рис. 7). На луче  строим такую точкуС, что . Тогда  - искомый вектор.