Свойства координат векторов

1⁰. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).

□ Разложим  по векторам базиса , , :

.

Следовательно, (0;0;0) _{, ,} . ■

2⁰. Если , ,  - базис пространства V, то (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).

□ (1;0;0);

(0;1;0);

(0;0;1). ■

3⁰. Если ( ; ; ), в базисе , , , а , то

в базисе , ,  (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).

□ По определению координат вектора

, .

Тогда , .

Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:

.

По определению координат вектора

. ■

Из свойства 3⁰ получаем следствия:

Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 3⁰ взять сначала a=b=1, а затем a=1, b=-1. Для доказательства следствия 2 полагаем b=0. ■

4⁰. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , .

5⁰. Пусть ( ; ; ), , и , i=1, 2, 3. Векторы  и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

|| .

Пусть . Тогда

||  и .

Если же , то

|| , а  и  - любые.

Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).

1) ;

Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости (или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты: . Ортонормированный базис выглядит так: ,  (рис. 9).

Лекция 4

Нелинейные операции над векторами

Скалярное произведение двух векторов

Углом между ненулевыми векторами  и  называется угол между лучами  и , сонаправленными с векторами  и  соответственно и исходящими из одной точкиО (рис. 10).

Два ненулевых вектора  и  называются взаимно перпендикулярными (ортогональными), если .

Обозначение: .

Если хотя бы один из векторов нулевой, то считают, что .

Итак, нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Угол между двумя векторами  и  находится в следующих пределах:

.

Понятие угла между векторами используется при определении понятия скалярного произведения.

Скалярным произведениемдвух векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними. Обозначение:  или .

.

Скалярным квадратом вектора называется число, равное скалярному произведению . Обозначение: ².

Скалярное умножение векторов не является линейной операцией над векторами.

Скалярное умножение векторов обладает геометрическими и алгебраическими свойствами. В геометрических свойствах фигурируют геометрические величины (длина, угол, перпендикулярность, проекция и т.д.), алгебраические свойства – это свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения действительных чисел.

Геометрические свойства