Свойства умножения вектора на число

1⁰.  и .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Теорема 1 (о коллинеарных векторах).Пусть . Векторы  и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число a, что .

Теорема 2 (о компланарных векторах).Пусть  || . Векторы  компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие действительные числа a и b, что .

Лекция 2

Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов и ее свойства

Линейной комбинацией векторовназывается вектор , где .

Примеры линейных комбинаций:

1. Вектор  есть линейная комбинация векторов  (здесь ).

2. Вектор  есть линейная комбинация векторов  (здесь ).

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство:

.

Если равенство  выполняется только при , то система векторов называетсялинейно независимой.

Примеры

1. Система векторов  линейно зависима, т.к. если возьмем , то получим, что , т.е. существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно ( ), что выполняется равенство .

2. Система двух неколлинеарных векторов  и  линейно независима, т.к. сумма двух неколлинеарных векторов  и  равна нулевому вектору  только при .