Векторное произведение двух векторов

Пусть , ,  - ортонормированный базис трехмерного векторного пространства V (правый). Векторным произведением двух неколлинеарных векторов  и  называется вектор, обозначаемый  (или ) и удовлетворяющий трем условиям:

1) длина ;

2)  и ;

3) базис , ,  ориентирован так же, как базис , , .

На рис. 20 изображены векторные произведения  и .

Геометрические свойства

Векторного умножения векторов

Г1⁰. || .

Пусть , тогда

или || ;

или || || ;

или или || .

Пусть || . Тогда по определению векторного произведения .

По определению . С другой стороны,

 (рис. 20).

Следовательно, .

Алгебраические свойства

Векторного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. .

А3⁰. .

Замечание. Пользуясь определениями ортонормированного базиса и векторного произведения двух векторов, можно доказать, что

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Попробуйте доказать самостоятельно!

Теорема 1 (векторное произведение в координатах). Если ,  в базисе , , , то

.

По определению координат вектора в базисе , ,

, .

Тогда . Используя свойства А1⁰-А3⁰ векторного умножения и замечание, получим:

(получите это равенство, проделав все выкладки самостоятельно).

Применение векторного произведения

Векторное произведение двух векторов применяется:

1. Для выяснения коллинеарности двух векторов: || .

3. Для вычисления площади треугольника: .

Лекция 6

Нелинейные операции над векторами

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего.

Обозначение: .

Таким образом, по определению

.

Смешанное произведение – это число!

Геометрические свойства

Смешанного умножения векторов

Г1⁰. , ,  компланарны.

Пусть . Тогда .

Следовательно, векторы , ,  параллельны плоскости, перпендикулярной вектору  (рис. 24),т.е. векторы , ,  компланарны.

Обратно, пусть векторы ,  и  компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.

, Þ , а так как || , то Þ ,

т.е. .

Г2⁰ (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему Vпараллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , ,  - правая, , если тройка , ,  - левая.

 Пусть векторы , ,  отложены от точки О (рис. 25).

. Пусть .

Построим на векторах , ,  параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами  и  (рис. 26).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.

а) Если тройка , ,  ориентирована так же, как базис , , , то  (рис. 26, а) Þ < 90⁰Þcos >0 Þ ÞÞ .

Итак, .

б) Если тройка , ,  ориентирована противоположно базису , , , то  (рис. 26, б) Þ > 90⁰Þ ÞÞ .

Итак, .

Из пунктов а) и б) следует, что .

Алгебраические свойства