Смешанного умножения векторов

А1⁰. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.

Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.

, V.

Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г2⁰к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах  и , во втором – на векторах  и ).

Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А1⁰ векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:

.

А2⁰. V .

Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:

; ; .

Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

А3⁰. ;

;

.

Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

Замечание. Смешанное произведение .

, т.к. .

Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , ,  в базисе , , , то .

.

Применение смешанного произведения

Трех векторов

Смешанное произведение векторов применяется:

1. Для выяснения компланарности трех векторов:

векторы , ,  компланарны тогда и только тогда, когда .

2. Для вычисления объема параллелепипеда:  (рис. 27).

3. Для вычисления объема треугольной призмы:

 (рис. 28).

4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):

 (рис. 29).

Метод координат

На плоскости и в пространстве

Лекция 7

Аффинная и прямоугольная декартова

Системы координат

Понятие аффинной и прямоугольной декартовой

Систем координат

ТочкаО называется началом координат, векторы , , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй,- третий.

Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точкуО, называются координатными осями:

 - ось абсцисс;

 - ось ординат;

 - ось аппликат (рис. 31).

Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.

Плоскости, определяемые осямиОх и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат  иногда обозначают Oxyz.

Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.

Координатами точки М в системе координат называются координаты ее радиус-вектора  в базисе , , .

Обозначение   или просто М(х;у;z): х – абсцисса точки М, у – ордината, z– аппликата.

Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.

Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).

1) Если z=0, то М(х;у;0)Þ Þ . Верно и обратное: Þz=0.

2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.

3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , тох=0.

4) Если z=0 и у=0, то  и Þ Þ . Верно и обратное: Þz=0 и у=0.

Докажите самостоятельно, что:

5) Если х=0 и у=0, то  и наоборот, если , то х=0 и у=0.

6) Если х=0 и z=0, то  и наоборот, если , то х=0 и z=0.

7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, чтоО(0;0;0) в системе координат .

Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М₁(х;0;0), затем точку М₂(х;у;0), а затем точку М(х;у;z).Процесс построения этих точек показан на рис. 33. ЛоманаяОМ₁М₂М называется координатной ломаной точки М.

, ,  и .

Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.

Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точкиО (начала координат) и двух базисных векторов  и  (координатных векторов) (рис. 34). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 35.