Скалярного умножения векторов

Г1⁰. .

□ Пусть , тогда

или ;

или ;

или .

Обратно, пусть , тогда . ■

Г2⁰. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

□ .■

Из этого свойства получаем важное следствие:

.

Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции вектора  на направление, определяемое вектором .

Пусть даны два вектора , ÎV.

Возьмем в пространстве произвольную точкуА и отложим от нее вектор , т.е.  (рис. 11).

Возьмем прямуюs||  и зададим на ней направление вектором (такая направленная прямая называется осью). Проведем в пространстве через точкуА плоскость , через точку В – плоскость . Пусть , .

Проекцией (скалярной) вектора  на направление, определяемое вектором , называется число, равное

, если ;

, если .

Обозначение: .

Г3⁰. .

Алгебраические свойства

Скалярного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. ; .

А3⁰. .

Следствие. . Это свойство можно распространить и на большее число слагаемых.

Теорема 1 (скалярное произведение в координатах). Если в ортонормированном базисе , , то

.

□ По определению координат вектора , . Используя свойства Г1⁰,Г2⁰, А1⁰-А3⁰ и то, что , ,  и , получаем:

. ■

Следствие 1. .

Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).

.

Следствие 3. .

.

Лекция 5

Нелинейные операции над векторами

Понятие об ориентации пространства и плоскости

Пусть , ,  - базис трехмерного векторного пространства.

Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например, такое: базис , ,  называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору , указательный – по , средний – по .

Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением.

Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или имеют противоположную ориентацию.

Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V.

Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве выбран базис, будем считать, что он является правым.

Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При этом базис ,  на плоскости называется правым (левым), если кратчайший поворот от первого базисного вектора  ко второму осуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).