Упругое столкновение в двух измерениях

При рассмотрении столкновений в двух измерениях необходимо учитывать векторный характер импульсов взаимодействующих частиц. Из всех случаев столкновений обычно рассматривают два: 1) одна частица (снаряд) сталкивается с другой частицей (мишенью), находящейся до взаимодействия в состоянии покоя; 2) импульсы частиц до столкновения направлены вдоль одной прямой. Если столкновение не лобовое, то в любом случае импульсы частиц после столкновения не совпадают с первоначальными их направлениями. В этом случае столкновение является двумерным, так как траектории взаимодействующих частиц лежат в плоскости, образованной первоначальными и конечными направлениями векторов импульсов частиц.

Рассмотрим столкновение частицы массой m₁, движущейся вдоль оси Х со скоростью  (импульсом ), с покоящейся частицей массой m₂ (рис. 19). После взаимодействия частицы разлетаются под углами a ₁ и a₂ относительно направления вектора импульса первой частицы, параллельного оси Х.

Например, для ядерных или электрически заряженных частиц процесс отклонения начинается до столкновения из-за существования ядерной или кулоновской силы, действующей между частицами.

Расстояние r₀ на рис. 19 называют прицельным параметром, который является мерой отклонения от лобового столкновения. При r₀ = 0 столкновение является лобовым. Согласно закону сохранения импульса для изолированной системы, имеем , где . Запишем закон сохранения импульса в проекциях:

а) на ось Х: ;

б) на ось У:  

                                       .

Применяя закон сохранения энергии, находим

                                            .

Из полученных трех уравнений следует, что можно найти только три неизвестные величины.

Если провести измерение, например угла a₁, то переменные  можно найти, используя полученные выше три уравнения.

Все скорости и углы измеряются значительно раньше или значительно позже столкновения, пока не действуют (или уже не действуют) силы взаимодействия между частицами.

Неупругое столкновение

В результате неупругого столкновения двух макроскопических тел, они могут слипаться, и в дальнейшем будут двигаться как единое целое (рис. 20),

где                             

                         .

 Из-за необратимой деформации они не восстанавливают своей формы. Энергия деформации переходит в теплоту Q.

Считая систему двух тел замкнутой, применяем закон сохранения импульса в векторном виде:                

                                                   ,            (38)

где – массы и векторы скоростей тел до взаимодействия;

– скорость слипшихся частиц после взаимодействия.

В проекции на ось Х

                                   mv_1x+ Mv_2x= (m + M)v_x

или                                      mv₁ + Mv₂ = (m + M)v.                             (39)

Формула (3.51) позволяет определить скорость слипшихся тел после их столкновения:

                           (40)

Применяя общий закон сохранения энергии для такой системы, имеем

                                                 ,     (41)

где Q – количество теплоты, выделившееся в результате деформации тел.

Сечение рассеяния

Взаимодействие молекул и атомов характеризуют эффективным сечением (сечение рассеяния), которое зависит от характера сил взаимодействия между ними. Особую роль в атомной, ядерной физике и физике элементарных частиц играют эксперименты по рассеянию потока частиц мишенью.

Рассеянием называют процесс столкновения потока одинаковых частиц, характеризующихся параллельными импульсами, с мишенью. При этом каждая частица из всего потока взаимодействует только с одной из частиц мишени, являющихся рассеивающими центрами (рис. 21). Поток падающих частиц называют пучком. Если частицы в пучке имеют не только параллельные импульсы, но и равные энергии, то такой пучок называют моноэнергетическим. Все процессы столкновения частиц с мишенью характеризуют сечением рассеивания s. В классической физике такое сечение рассеяния называют эффективным диаметром, т. е. s = pd², где d – диаметр молекул.

Единичный акт столкновения частицы-снаряда с рассеивающим центром мишени, в результате которого частица отклоняется в пределах телесного угла dW, характеризуется дифференциальным сечением рассеяния

                                           (42)

где ds – дифференциальное сечение рассеяния, имеет размерность площади; dN – число частиц, рассеиваемых в единицу времени в элементарный телесный угол dW; r – плотность потока частиц, т. е. число частиц в пучке, пересекающих в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную к направлению движения частиц.

Так как dN ~ dW, то

    .          (43)

По определению отношение dN/dW равно числу частиц, рассеиваемых в единицу времени в единичный телесный угол в направлении, которое определяется некоторыми углами q и j (рис. 22, где R – единичный радиус; 0 £ q £ p, 0 £ j £ 2p).

Телесный угол dW на рис. 22 показан заштрихованной площадкой на сфере единичного радиуса, причем dW = sinqdqdj.

 Отношение dN/dW описывает угловое распределение рассеянных частиц (распределение по углам q и j).

Поэтому                         .                                       (44)

Кроме дифференциального сечения рассеяния ds существует понятие полного сечения рассеяния        

                                                (45)

Для определения сечения рассеяния достаточно знать только импульсы частиц. Координаты знать не обязательно.

Поэтому понятие классического сечения рассеяния используют и в квантовой механике для описания столкновения микрочастиц. В ядерной физике единицей измерения сечения рассеяния является барн (1 барн = 10^-24 см²). Это связано с геометрическими размерами ядер.

Для детального описания процесса рассеяния в классической физике используют прицельный параметр r₀ (рис. 23), который равен наикратчайшему расстоянию, на котором частица-снаряд прошла бы от центра рассеяния в том случае, если бы взаимодействие между частицами отсутствовало.

Анализ формулы (45) показывает, что полное сечение рассеяния имеет смысл площади, затеняемой центром рассеяния в направлении падения пучка. Частицы-снаряды пучка, нацеленные на мишень, будут рассеяны центром.

Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния – часть площади s. В случае сферически симметричного рассеивающего центра она имеет форму кольца (рис. 24, а, б).

Частицы, нацеленные в кольцо рассеиваются в некотором интервале углов, соответствующем значениям прицельного параметра, между внутренним, и внешним радиусами кольца. В процессе упругого рассеяния микрочастиц изменяются их импульсы.

Наряду с этими процессами могут изменяться также внутренние состояния частиц (квазиупругие процессы) или образуются другие микрочастицы (неупругие процессы).

 ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В МЕХАНИКЕ