Закон сохранения механической энергии

и однородность времени

Из свойства симметрии однородности времени следует, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала системы отсчета. Если в два произвольных момента времени все тела замкнутой системы поставлены в одинаковые условия, то, начиная с этих моментов времени, все явления в системе протекают одинаково. На основании классической механики Ньютона имеем А = W_k2 - W_k1.

Силы, действующие на м. т., связаны с потенциальной энергией выражением                       ,

где потенциальная энергия задана в виде функции состояния,

т. е.                                                          W_p = W_p(x, y, z, t).

Например, поле, где находится м. т., изменяется со временем (пульсирует). Тогда работа всех сил

где                                    .

Следовательно,                     

или

                                              .

C другой стороны, полная работа A = DW_k = W_k2 - W_k1.

Cледовательно,                 

                                 (W_p2 + W_k2)-(W_p1 +W_k2) = .

В случае замкнутой системы, в силу однородности времени, производная потенциальной энергии по времени равна нулю, т. е. .

Таким образом, получаем закон сохранения механической энергии

                                        W = W_k + W_p = const.

Замечание: В классической физике взаимосвязь кинетической энергии, импульса и массы описывается формулой

                                           W_k = p² / (2m).

   В релятивистской физике согласно специальной теории относительности полная энергия частицы W = qmc², р = qmv – импульс частицы,

где                                                

                                           , 

 т. е. 

После преобразований получим формулу 

                                                      W² = p²c² + m²c⁴,

которая выражает взаимосвязь массы, импульса и энергии, т. е. закон сохранения массы, импульса и энергии.

Так как для частиц изолированной системы р = const (закон сохранения импульса) и W = const (закон сохранения механической энергии), то из последней формулы следует, что m = const и c = const.