Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Други-ми словами полный факторный эксперимент обладает избыточностью опы-тов.

Пользуясь матрицей планирования в таблице 5.3, можно вычислить че-тыре коэффициента и представить результаты в виде уравнения

y=b +bx1 +bx2 +b 2xx2.

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьи-

рования процесс может быть описан линейной моделью y =b +bx1 +b2x2 ,

то достаточно определить три коэффициента: b,b,b2. Остается одна сте-пень свободы. При линейном приближении b12 ®0 и вектор-столбец xx2 можно использовать для нового фактора x3. Вместо восьми опытов для изу-чения трех факторов (таблица 5.2) оказывается можно поставить четыре. При этом матрица планирования по-прежнему будет ортогональна, ротатабельна.

Чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить век-тор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца. Для нашего случая подходит матрица в таблице 5.4.

Следует иметь в виду, что далеко не всякая перестановка опытов в этой матрице приводит к таблице планирования, обладающей изложенными выше оптимальными свойствами (нормированностью, ортогональнойстью, ротата-бельностью, симметричностью).

55

 

Таблица 5.4 – Полуреплика трехфакторного эксперимента

Номер опыта	x0	x1	x2	x3	у
1	+1	-1	-1	+1	y1
2	+1	+1	+1	+1	у2
3	+1	-1	+1	-1	у
4	+1	+1	-1	-1	у4

 

Матрица 5.4 обладает всеми свойствами полного факторного экспери-мента и дает возможность определить четыре коэффициента трехфакторной линейной модели:

y =b +bx1 +bx2 +bx3 .

Причем для этого используется не восемь (см таблицу 5.2), а только че-тыре опыта. Построив четыре опыта, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента 23 или «полурепликой». Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного фак-торного эксперимента 24, а для пятифакторного планирования – четверть ре-пликой от 25. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов превращается в довольно сложную задачу. В любом случае один или несколько линейных эффектов приравниваются к эффектам взаимодействия.

Дробные реплики находят широкое применение при получении линей-ных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом количе-ства факторов. При построении дробных реплик используется следующее правило: чтобы сократить число опытов при введении в планирование ново-го фактора, нужно поместить этот фактор в вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Обработка результатов опыта

Для расчетов коэффициентов функции отклика и оценке адекватности полученной модели используется регрессионный анализ.

Напомним, что регрессионный анализ применим при следующих пред-

положениях:

1. Параметр оптимизации у есть случайная величина с нормальным

законом распределения.

При наличии большого экспериментального материала гипотезу о нормальном распределении можно проверить по критерию c2. Однако, ча-сто количество опытов невелико и поэтому приходится принимать этот по-

стулат на веру.

2. Дисперсия у не зависит от абсолютной величины у.

Это положение проверяется с помощью критериев однородности дис-персий (Фишера, Кохрена) в разных точках факторного пространства.

3. Значения факторов не являются случайными величинами, то есть их уровни можно поддерживать точнее, чем ошибка воспроизводимости опы-

56

тов.

4. Факторы не коррелированны.

В качестве вычислительного приема для расчета коэффициентов функ-ции отклика используется метод наименьших квадратов (см. раздел 4). Легко показать, что применяя его к линейной модели с любым числом факторов,

получим формулу для вычислении всех коэффициентов:

bj = åxji yi , j =0,1,2,...,k- номер фактора.

При вычислении линейных моделей по дробным репликам никаких особенностей не проявляется.

Если мы хотим найти коэффициенты неполного квадратного уравне-

ния, уравнение регрессии будет иметь вид:

y=b +bx1 +bx2 +...b +b 2xx2 +b 3xx3 +...+b -1,kxk-1xk .

bj = i=1yixuixjij,u=0,1,2,...,k;j ¹u.

После вычисления коэффициентов требуется определить их довери-тельные интервалы и значимость с помощью критерия Стьюдента, а также проверить адекватность модели по критерию Фишера (как это было показано в разделе 4.4.2.).

Средняя относительная ошибка модели может быть определена как

SSост 1 n  my

yi - значение отклика, вычисленное по найденному уравнению регрес-сии.

Интерпретация результатов

Интерпретация - сложный процесс, который проводится в несколько этапов. Он включает оценку величины и направления влияния отдельных факторов и их взаимодействий, сопоставления влияния совокупности факто-ров, проверку правильности априорных представлений.

Ситуации, с которыми сталкивается экспериментатор, различаются по адекватности и неадекватности модели, значимости и незначимости коэффи-циентов регрессии, положению оптимума.

Если часть коэффициентов регрессии незначима, то возможен выбор

57

одного из решений, позволяющих получать коэффициенты регрессии значи-мыми: изменение интервалов варьирования, перенос центра плана, отсеива-ние незначимых факторов, параллельные опыты, достройка плана.

Если линейная модель неадекватна, можно применить выше перечис-ленные приемы. Кроме этого возможно включение в модель эффектов взаи-модействия факторов, а также оценка квадратичных эффектов.

В случае получения линейной адекватной модели со значимыми коэф-фициентами, устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на отклик. Величина коэффициента регрессии в линейной модели – количе-ственная мера этого влияния фактора. Чем больше этот коэффициент, тем сильнее влияет фактор. Знак плюс говорит о том, что с увеличением значения фактора растет величина отклика, а при знаке минус – убывает. Коэффициент при факторной переменной в уравнении регрессии означает изменение от-клика на единицу изменения фактора.

Нужно иметь в виду, что эксперимент проводится в локальной области факторного пространства и коэффициент отражает влияние фактора только в этой области. Заранее не известно, в какой мере можно распространить ре-зультат на другие области.

Пример 5.2 После обработки экспериментальных данных получено уравнение регрессии

y =88,0-2,0x -4,5x2

К увеличению параметра оптимизации приводит уменьшении значений факторов.

Если модель содержит слагаемое, отражающее взаимодействие факто-ров с положительным коэффициентом, то это свидетельствует о том, что од-новременное увеличение, как и одновременное уменьшение значений двух факторов приводит к увеличению параметра оптимизации. Если эффект вза-имодействия имеет отрицательный знак, то любая комбинация разных знаков

1 и x2 приводит к росту параметра оптимизации.

Проведение эксперимента

Перечислим основные этапы подготовки и проведения экспериментов.

Постановка задачи, выбор параметров оптимизации 1. Краткое описание процесса, объекта.

2. Формулировка цели исследования.

3. Выбор параметров оптимизации (откликов) (название отклика, раз-мерность, область определения, точность).

4. Желаемый результат. Число и точность.

5. Какой результат будет считаться отличным, хорошим, удовлетвори-тельным, неудовлетворительным.

58

Выбор факторов

1. Список всех «подозреваемых» факторов, которые могут влиять на процесс.

2. Список факторов, включаемых в реальный эксперимент (название, размерность, область определения, область интереса, точность).

3. Существует ли возможность установления значения фактора на лю-бом заданном уровне?

4. Сохраняются ли заданные значения уровней в течение опыта?

Число опытов

1. Ограничения на число опытов.

2. Желаемый срок проведения исследования. 3. Длительность одного опыта.

4. Стоимость и затраты труда при проведении одного опыта, серии. 5. Желаемое число уровней для одного фактора.

6. Возможность проведения параллельных опытов и измерений.

Учет априорной информации

1. Условия и результаты, достигнутые при изучении аналогичных про-цессов.

2. Результаты предварительного эксперимента и данные (литературные и собственные) о величине ошибки эксперимента.

3. Взаимодействия факторов.

Желательно перечислить все параметры, которые могут служить ха-рактеристиками процесса и указать, какая между ними существует корреля-ция. Если сведения о корреляции отсутствуют, целесообразно подсчитать ко-эффициенты парной корреляции, проверить их значимость и выделить груп-пу не коррелированных параметров.

Ошибка опыта является суммарной величиной, состоящей из ряда ошибок: ошибок при измерении факторов, параметра оптимизации и ошибок при проведении опыта. Ошибки подразделяются на случайные и системати-ческие.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внеш-ними условиями (переменой температуры, сырья и т.д.), рекомендуется слу-чайная последовательность при постановке опытов, запланированных матри-цей (рандомизация опытов). Если экспериментатору заранее известны источ-ники систематических ошибок, например, количество различных партий сы-рья, нужно разбить матрицу планирования на блоки. Следует проверять дис-персии на однородность (критерии Фишера, Кохрена и др.).

Контрольныевопросы

1. В чем заключается планирование эксперимент? Задачи, для кото-рых используется планирование эксперимента. Дайте определение функции отклика. Представьте объект исследования в виде «черного ящика», нари-

59

суйте схему.

2. Каким образом выбирают аналитический вид функции отклика? Приведите примеры двухфакторных функций. Какие элементы функции от-клика определяют по результатам эксперимента?

3. Какова последовательность определения факторного простран-

ства в полном факторном эксперименте? Запишите матрицу планирования 22. Поясните смысл обозначения рк.

4. Опишите свойства матрицы планирования в полном факторном эксперименте.

5. Запишите матрицу планирования полного факторного эксперимен-та 23.

6. Каким образом можно использовать матрицу полного факторного эксперимента для оценки эффекта взаимодействия? Запишите матрицу планирования полного факторного эксперимента 22 с эффектом взаимодей-ствия. Сколько эффектов можно оценить по полному факторному экспери-менту?

7. По какому принципу планируют дробные факторные эксперименты (полуреплики, четвертьреплики)? Запишите полуреплику эксперимента 23.

МЕТОД ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК