Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Необходимое условие экстремума
Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует. Замечание Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум. Первое достаточное условие экстремума Теорема (Первое достаточное условие экстремума) Пусть для функции выполнены следующие условия: 1. функция непрерывна в окрестности точки ; 2. или не существует; 3. производная при переходе через точку меняет свой знак. Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет. Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо: 1. найти производную ; 2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует; 3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки; 4. найти значение функции в экстремальных точках. Второе достаточное условие экстремума Теорема (Второе достаточное условие экстремума) Пусть для функции выполнены следующие условия: 1. она непрерывна в окрестности точки ; 2. первая производная в точке ; 3. в точке . Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум. Исследование функций с помощью 2-й производной. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Нахождение экстремума с использованием 2-й производной. Локомотив исследования функции методами дифференциального исчислениянеумолимо приближает нас к конечной станции, и после изучения непрерывности, области определения, интервалов знакопостоянства, асимптот, интервалов монотонности и экстремумов функции осталось рассмотреть выпуклость, вогнутость и перегибы графика. Начнём с так полюбившихся посетителям сайта физических упражнений. Пожалуйста, встаньте и наклонитесь вперёд либо назад. Это выпуклость. Теперь вытяните руки перед собой ладонями вверх и представьте, что держите на груди большое бревно… …ну, если не нравится бревно, пусть будет ещё что/кто-нибудь =) Это вогнутость. В ряде источников встречаются синонимичные термины выпуклость вверх и выпуклость вниз, но я сторонник коротких названий. Асимптоты. Вертикальные, горизонтальные, наклонные. Их нахождение. Виды асимптот Определение Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или . Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. Определение Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно . Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую. Определение Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-31; просмотров: 206. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |