Поняття базису простору і площини

Означення.       Максимальною лінійно незалежною системою векторів простору (площини) називається така лінійно незалежна система векторів, приєднання до якої будь-якого вектору простору (площини) приводить до лінійно залежної системи.

Означення.       Базисом називається упорядкована максимальна лінійно незалежна система векторів простору(площини).

З попереднього випливає, що базисом площини є будь-яка упорядкована система двох неколінеарних векторів, а базисом простору – будь-яка упорядкована трійка некомпланарних векторів.

Теорема.  Будь-який вектор площини(простору) можна розкласти і при тому єдиним чином за векторами базису.

Доведення.

Доведемо цю теорему в просторі.

Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .

Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної залежності.

Тож маємо .

Доведемо єдиність розкладання.

Припустимо супротивне, що для  має місце ще одне розкладання.

.

Зауважимо, що оскільки розкладання відрізняються, то різними є принаймні одна пара коефіцієнтів c_i, d_i. Припустимо (для визначеності), що .

Тоді отримуємо:  

Оскільки , то отримано рівність , що стверджує про лінійну залежність векторів базису. Отримано суперечність до означення базису.

Теорему доведено.

Означення.       Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.

Афінна система координат.

Розглянемо площину або простір.

Означення.       Афінною системою координат називається система, що складається з точки, яку називають початком системи координат, і базису  (для площини),  (для простору).

Означення.       Радіус-вектором точки називається вектор, початком якого є початок системи координат, а кінцем - дана точка.

Означення.       Афінними координатами точки називаються координати її радіус-вектора у даній афінній системі координат.

Твердження.     Нехай задано вектор , причому точка А в деякій афінній системі координат має координати , а точка B у цій же системі – . Тоді координатами вектора  є .

Доведення.

У афінній системі координат задані координати точки А, отже:

Отримали, що  має координати .

Теорему доведено.

Прямокутна декартова система координат є окремим випадком афінної системи координат. При цьому базисні вектори взаємно перпендикулярні і мають одиничну довжину. Вони позначаються: s w:val="28"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Додатковий матеріал з векторної алгебри

Для оволодіння рештою інформації з векторної алгебри пропонується написання реферату за наступною схемою.

Схема написання теоретичної частини

I. Скалярний добуток

1. Скалярна проекція вектора на вісь.

Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.

Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.

Означення 1. Величиною напрямленого відрізку  називається число, що позначається :

Розглянемо тепер вектори, що не обов’язково належать осі u.

Означення 2. Векторною проекцією вектора AB на вісь u називається вектор , де  ортогональна проекція точки A,  – отрогональна проекція точки B.

Позначимо векторну проекцію

ng w:val="UK"/></w:rPr><m:t>.</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Означення 3. Скалярною проекцією  вектора  на вісь u називається величина його векторної проекції

.

Теорема 1. Скалярна проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором та віссю.

Доведення. (навести доведення)

Для доведення властивостей скалярних проекцій векторів корисною є теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат.

Теорема 2. Декартові прямокутні координати є проекціями вектора на відповідні координатні осі.

Скалярна проекція має такі властивості.

Теорема 3. Скалярна проекція суми двох векторів дорівнює сумі скалярних проекцій цих векторів

.

Доведення. (навести доведення)

Теорема 4. Скалярна проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на скалярну проекцію вектора

.

2. Поняття скалярного добутку.

Означення 3. Скалярним добутком двох векторів  і  називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Останню рівність можна записати у вигляді

або

Звідси випливає інше означення скалярного добутку.

Означення 4. Скалярним добутком векторів  та  називається добуток довжини одного з векторів на скалярну проекцію другого вектора на напрямок першого.

3. Алгебраїчні та геометричні властивості скалярного добутку

Доведемо, що скалярний добуток має такі алгебраїчні властивості:

1)  (властивість симетрії)

2)  (дистрибутивність)

3)

4)

(навести доведення перелічених властивостей).

Зауваження. З властивостей 3) та 1) випливає, що .

Зі скалярним добутком пов’язана така геометрична властивість:

Для того щоб вектори були ортогональними (перпендикулярними) необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю (навести доведення необхідності і достатності умови).

4. Вираз скалярного добутку через координати векторів

Означення. Базис простору (площини) називається ортонормованим, якщо він складається з попарно ортогональних векторів, довжина яких дорівнює одиниці.

Нехай в просторі введено ортонормований базис , тобто

 нехай далі вектори  і  мають координати , відповідно.

Теорема. Скалярний добуток  в ортонормованому базисі дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів  і , тобто