Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.

З’ясуємо геометричний зміст поняття лінійної залежності.

Теорема 1.   Для того, щоб система з одного вектора була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб цей вектор був нульовим.

Теорему 1 було обґрунтовано у зауваженні попереднього параграфу.

Теорема 2.   Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх колінеарність.

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що вектори  утворюють лінійно залежну систему.

Доведемо, що вектори колінеарні.

Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це  (для визначеності). Тоді , тобто вектори колінеарні.

Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.

Можливі випадки:

1) Принаймні один з векторів нульовий. Тоді твердження очевидне, тому що в системі міститься лінійно залежна підсистема.

2) Обидва вектори ненульові.

Для доведення потрібна така лема.

Лема. Якщо  і , то : .

Дійсно, якщо , то , якщо , то .

Згідно із лемою маємо, що . Таким чином система лінійно залежна.

Теорему доведено.

Теорема 3.   Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що вектори  утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні. Тоді за означенням 1 лінійної залежності існує вектор (наприклад, ), що є лінійною комбінацією інших .

Візьмемо точку А і прикладемо до неї вектори . Побудуємо паралелограм зі сторонами .

                                                                                       (для визначеності )

Тоді з попередньої рівності випливає, що  – сторони і діагональ паралелограма. Отже ці вектори компланарні. Оскільки , то вектори  також компланарні.

Достатність. Припустимо, що  – компланарні. Покажемо, що вони лінійно залежні.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то в системі є лінійно залежна підсистема і тому вся система залежна. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні.

Прикладемо вектори  до однієї точки А і побудуємо паралелограм ABDC з діагоналлю  і сторонами, що знаходяться на прямих, на яких знаходяться вектори . Тоді .

Оскільки , то  . Тоді , тобто  є лінійною комбінацією  і . Отже вектори  лінійно залежні за першим означенням.

Теорему доведено.

Теорема 4.   Довільні чотири вектори геометричного простору лінійно залежні.

Доведення.

Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.

Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо паралеліпіпед, діагональ якого є , а ребра знаходяться на прямих, що містять вектори .

За означенням додавання векторів маємо . Оскільки , маємо .

Тоді , а тому  – лінійно залежна.

Теорему доведено.

Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.