Поняття вектора, лінійні операції над векторами.

Розглянемо в просторі (на площині) множину всіх направлених відрізків. В цій множині можна по-різному ввести означення рівності напрямленнях відрізків і отримати три поняття вектора.

Означення 1.                 Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:

1) вони колінеарні (знаходяться на одній або паралельних прямих);

2) мають однаковий напрямок;

3) мають однакові довжини.

Означення 2.   Вільним вектором називається множина всіх рівних між собою в сенсі означення 1 напрямлених відрізків.

Введемо іншим чином означення рівності.

Означення 1^'.    Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:

1) вони колінеарні;

2) мають однаковий напрямок;

3) знаходяться на одній прямій;

4) мають однакові довжини.

Означення 2^'.    Ковзним вектором називається множина всіх рівних між собою у сенсі означення 1^' напрямлених відрізків.

Означення 1^''. Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо :

1) в них рівні довжини;

2) знаходяться на одній прямій;

3) однаково направлені і мають спільний початок.

Означення 2^''. Зв'язаним вектором називається множина рівних між собою в сенсі означення 1^'' напрямлених відрізків.

З останнього означення випливає, що зв'язаний вектор дорівнює лише собі. В даному курсі розглядатимемо лише вільні вектори.

Над векторами вводяться дві основні лінійні операції :

1) додавання векторів;

2) множення вектора на число.

Означення 3.    Сумою двох векторів  і , називається вектор, що умовно позначається , початок якого знаходиться в початку вектора , кінець – у кінці вектора , за умови, що початок вектора  знаходиться в кінці вектора .

Означення 4.    Добутком вектора а на число к називається вектор, що умовно позначається  і має такі властивості:

1)

2) , якщо , і , якщо

3)  не має певного напрямку, якщо .

Властивості лінійних операцій (довести самостійно).

1.  – комутативність додавання.

2.  – асоціативність додавання.

3. Існує так званий нульовий вектор , тобто такий, для якого

 для довільного вектора .

Зрозуміло, що початок і кінець нульового вектора збігаються, тобто він має нульову довжину, а напрямок цього вектора невизначений.

4. Для будь-якого вектора  існує так званий протилежний вектор , тобто такий, що ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Вектори  та  мають протилежні напрямки та однакові довжини.

5.  для довільного вектора .

6.  – асоціативність множення на число.

7.  – дистрибутивність.

8.  – дистрибутивність.

Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.

Означення.   Лінійною комбінацією векторів  називається вектор  де p_i- будь-які числа.

Означення 1.      Система векторів  називається лінійно залежною, якщо принаймні один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.

Інакше кажучи, .

Означення 2.      Система векторів  називається лінійно залежною, якщо існують числа , серед яких принаймні одне , що виконується рівність:

.

Теорема.  При  перше і друге означення лінійно залежної системи еквівалентні.

Доведення.

Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.

Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):

.

Додамо до обох частин даної рівності вектор протилежний до :

Внаслідок комутативності і означення нульового вектора маємо:

Тобто , що виконується і рівність  і система лінійно залежна за означенням 2.

Нехай тепер система векторів лінійно залежна за означенням 2:

   ( ).

Треба довести, що .

Додамо вектор  до лівої та правої частини даної рівності:

Відомо, що , тоді помноживши обидві частини рівності на  маємо:

Тобто система є лінійно залежною за означенням 1.

Теорему доведено.

Зауваження.     При , означення 1 лінійної залежності втрачає сенс, тоді як за означенням 2 рівність  при  стає , тобто . Маємо, що система з одного вектора лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Теорема.  Якщо у системі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай задана система . Візьмемо її підсистему. Не зменшуючи загальності міркувань вважатимемо, що підсистема  – лінійно залежна. Тоді : .

Запишемо рівність в такому виді:

Тоді  такі, що .

Система лінійно залежна за означенням 2.

Теорему доведено.

Означення.       Система векторів  називається лінійно незалежною, якщо рівність  виконується тоді і тільки тоді, коли t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>=0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно незалежна, то всі її підсистеми також лінійно незалежні.