Студопедия
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ЗАКОНУ ГАУССА (НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ).
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности описывается функцией: , где М – математическое ожидание, - дисперсия, -среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Кривая распределения имеет симметричную относительно математического ожидания колоколообразную форму (рис. 5.). Положение и крутизна кривой нормального распределения зависит от ее параметров М и : , .
Попадание случайной величины в любой интервал (a;b) определяется, как и для любой непрерывно распределенной величины по формуле: , т.е. в нашем случае получается , а это «неберущийся» интеграл Гаусса, значения которого можно вычислить по специальной таблице (табл.2.). Т.о., , причем
Пример 16.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с M=3 и σ=2. Найти вероятность того, что Х примет свои значения из интервала (2; 5).
Решение:
Используя формулу вероятности попадание случайной величины в любой интервал (a;b) и значения функции Гаусса из таблицы 2, имеем:
Среди множества значений, которые принимает нормально распределенная случайная величина Х, выделяют 3 стандартных интервала содержащих, соответственно, 68, 95 и 99% всех значений данной случайной величины. Размеры этих интервалов определяются для любой величины ее математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением:
· 1-ый стандартный интервал , причем ;
· 2-ой стандартный интервал , причем ;
· 3-ий стандартный интервал , причем .
Рис. 5. График кривой нормального распределения.
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РЕШЕННИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Таблица 1.
Значения функции для решения задач
На закон нормального распределения
T
| Ф(t)
| t
| Ф(t)
| t
| Ф(t)
| t
| Ф(t)
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0
| 0,5
| 1
| 0,8413
| 2
| 0,9772
| 3
| 0,9986
| 0,1
| 0,5398
| 1,1
| 0,8643
| 2,1
| 0,9821
| 3,1
| 0,999
| 0,2
| 0,5793
| 1,2
| 0,884
| 2,2
| 0,9861
| 3,2
| 0,9993
| 0,3
| 0,6179
| 1,3
| 0,9032
| 2,3
| 0,9893
| 3,3
| 0,9995
| 0,4
| 0,6554
| 1,4
| 0,9192
| 2,4
| 0,9918
| 3,4
| 0,9997
| 0,5
| 0,6915
| 1,5
| 0,9332
| 2,5
| 0,9938
| 3,5
| 0,9998
| 0,6
| 0,7257
| 1,6
| 0,9452
| 2,6
| 0,9953
| 3,6
| 0,9998
| 0,7
| 0,758
| 1,7
| 0,9554
| 2,7
| 0,9965
| 3,7
| 0,9999
| 0,8
| 0,7881
| 1,8
| 0,9641
| 2,8
| 0,9974
| 3,8
| 0,9999
| 0,9
| 0,8159
| 1,9
| 0,9713
| 2,9
| 0,9981
| 3,9
| 1
|
Таблица 2.
Значения функции Лапласа
t
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 0,0
| 0,398942
| 0,398922
| 0,398862
| 0,398763
| 0,398623
| 0,398444
| 0,398225
| 0,397966
| 0,397668
| 0,397330
| 0,1
| 0,396953
| 0,396536
| 0,396080
| 0,395585
| 0,395052
| 0,394479
| 0,393868
| 0,393219
| 0,392531
| 0,391806
| 0,2
| 0,391043
| 0,390242
| 0,389404
| 0,388529
| 0,387617
| 0,386668
| 0,385683
| 0,384663
| 0,383606
| 0,382515
| 0,3
| 0,381388
| 0,380226
| 0,379031
| 0,377801
| 0,376537
| 0,375240
| 0,373911
| 0,372548
| 0,371154
| 0,369728
| 0,4
| 0,368270
| 0,366782
| 0,365263
| 0,363714
| 0,362135
| 0,360527
| 0,358890
| 0,357225
| 0,355533
| 0,353812
| 0,5
| 0,352065
| 0,350292
| 0,348493
| 0,346668
| 0,344818
| 0,342944
| 0,341046
| 0,339124
| 0,337180
| 0,335213
| 0,6
| 0,333225
| 0,331215
| 0,329184
| 0,327133
| 0,325062
| 0,322972
| 0,320864
| 0,318737
| 0,316593
| 0,314432
| 0,7
| 0,312254
| 0,310060
| 0,307851
| 0,305627
| 0,303389
| 0,301137
| 0,298872
| 0,296595
| 0,294305
| 0,292004
| 0,8
| 0,289692
| 0,287369
| 0,285036
| 0,282694
| 0,280344
| 0,277985
| 0,275618
| 0,273244
| 0,270864
| 0,268477
| 0,9
| 0,266085
| 0,263688
| 0,261286
| 0,258881
| 0,256471
| 0,254059
| 0,251644
| 0,249228
| 0,246809
| 0,244390
| 1,0
| 0,241971
| 0,239551
| 0,237132
| 0,234714
| 0,232297
| 0,229882
| 0,227470
| 0,225060
| 0,222653
| 0,220251
| 1,1
| 0,217852
| 0,215458
| 0,213069
| 0,210686
| 0,208308
| 0,205936
| 0,203571
| 0,201214
| 0,198863
| 0,196520
| 1,2
| 0,194186
| 0,191860
| 0,189543
| 0,187235
| 0,184937
| 0,182649
| 0,180371
| 0,178104
| 0,175847
| 0,173602
| 1,3
| 0,171369
| 0,169147
| 0,166937
| 0,164740
| 0,162555
| 0,160383
| 0,158225
| 0,156080
| 0,153948
| 0,151831
| 1,4
| 0,149727
| 0,147639
| 0,145564
| 0,143505
| 0,141460
| 0,139431
| 0,137417
| 0,135418
| 0,133435
| 0,131468
| 1,5
| 0,129518
| 0,127583
| 0,125665
| 0,123763
| 0,121878
| 0,120009
| 0,118157
| 0,116323
| 0,114505
| 0,112704
| 1,6
| 0,110921
| 0,109155
| 0,107406
| 0,105675
| 0,103961
| 0,102265
| 0,100586
| 0,098925
| 0,097282
| 0,095657
| 1,7
| 0,094049
| 0,092459
| 0,090887
| 0,089333
| 0,087796
| 0,086277
| 0,084776
| 0,083293
| 0,081828
| 0,080380
| 1,8
| 0,078950
| 0,077538
| 0,076143
| 0,074766
| 0,073407
| 0,072065
| 0,070740
| 0,069433
| 0,068144
| 0,066871
| 1,9
| 0,065616
| 0,064378
| 0,063157
| 0,061952
| 0,060765
| 0,059595
| 0,058441
| 0,057304
| 0,056183
| 0,055079
| 2,0
| 0,053991
| 0,052919
| 0,051864
| 0,050824
| 0,049800
| 0,048792
| 0,047800
| 0,046823
| 0,045861
| 0,044915
| 2,1
| 0,043984
| 0,043067
| 0,042166
| 0,041280
| 0,040408
| 0,039550
| 0,038707
| 0,037878
| 0,037063
| 0,036262
| 2,2
| 0,035475
| 0,034701
| 0,033941
| 0,033194
| 0,032460
| 0,031740
| 0,031032
| 0,030337
| 0,029655
| 0,028985
| 2,3
| 0,028327
| 0,027682
| 0,027048
| 0,026426
| 0,025817
| 0,025218
| 0,024631
| 0,024056
| 0,023491
| 0,022937
| 2,4
| 0,022395
| 0,021862
| 0,021341
| 0,020829
| 0,020328
| 0,019837
| 0,019356
| 0,018885
| 0,018423
| 0,017971
| 2,5
| 0,017528
| 0,017095
| 0,016670
| 0,016254
| 0,015848
| 0,015449
| 0,015060
| 0,014678
| 0,014305
| 0,013940
| 2,6
| 0,013583
| 0,013234
| 0,012892
| 0,012558
| 0,012232
| 0,011912
| 0,011600
| 0,011295
| 0,010997
| 0,010706
| 2,7
| 0,010421
| 0,010143
| 0,009871
| 0,009606
| 0,009347
| 0,009094
| 0,008846
| 0,008605
| 0,008370
| 0,008140
| 2,8
| 0,007915
| 0,007697
| 0,007483
| 0,007274
| 0,007071
| 0,006873
| 0,006679
| 0,006491
| 0,006307
| 0,006127
| 2,9
| 0,005953
| 0,005782
| 0,005616
| 0,005454
| 0,005296
| 0,005143
| 0,004993
| 0,004847
| 0,004705
| 0,004567
| 3,0
| 0,004432
| 0,004301
| 0,004173
| 0,004049
| 0,003928
| 0,003810
| 0,003695
| 0,003584
| 0,003475
| 0,003370
| 3,1
| 0,003267
| 0,003167
| 0,003070
| 0,002975
| 0,002884
| 0,002794
| 0,002707
| 0,002623
| 0,002541
| 0,002461
| 3,2
| 0,002384
| 0,002309
| 0,002236
| 0,002165
| 0,002096
| 0,002029
| 0,001964
| 0,001901
| 0,001840
| 0,001780
| 3,3
| 0,001723
| 0,001667
| 0,001612
| 0,001560
| 0,001508
| 0,001459
| 0,001411
| 0,001364
| 0,001319
| 0,001275
| 3,4
| 0,001232
| 0,001191
| 0,001151
| 0,001112
| 0,001075
| 0,001038
| 0,001003
| 0,000969
| 0,000936
| 0,000904
| 3,5
| 0,000873
| 0,000843
| 0,000814
| 0,000785
| 0,000758
| 0,000732
| 0,000706
| 0,000681
| 0,000657
| 0,000634
| 3,6
| 0,000612
| 0,000590
| 0,000569
| 0,000549
| 0,000529
| 0,000510
| 0,000492
| 0,000474
| 0,000457
| 0,000441
| 3,7
| 0,000425
| 0,000409
| 0,000394
| 0,000380
| 0,000366
| 0,000353
| 0,000340
| 0,000327
| 0,000315
| 0,000303
| 3,8
| 0,000292
| 0,000281
| 0,000271
| 0,000260
| 0,000251
| 0,000241
| 0,000232
| 0,000223
| 0,000215
| 0,000207
| 3,9
| 0,000199
| 0,000191
| 0,000184
| 0,000177
| 0,000170
| 0,000163
| 0,000157
| 0,000151
| 0,000145
| 0,000139
|
Для вычисления значения функции при отрицательных значениях аргумента используется соотношение .
|