Показательное распределение, его числовые характеристики.

НСВ называется распределенной по показательному з-ну, если ф-ия плотности этой СВ имеет вид f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; лямбда*e^-(лямбда*x), x>=0), где лямбда – постоянная + величина.

F(X)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) f(x)dx

1) При х<0 F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до х)0dx=0

2) При x>=0 F(x)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до 0)0dx+ИНТЕГРАЛ (от 0 до х) лямбда*e^-(лямбда*x)dx=1- e^-(лямбда*x).

ИНТЕГРАЛ (от 0 до х) лямбда*e^-(лямбда*x)dx= лямбда*(e^-(лямбда*x) * (-1/лямбда)) |0,x=e^-(лямбда*x) |0,x = - e^-(лямбда*x)+e^0=- e^-(лямбда*x)+1.

Графики плотности и ф-ии распределения

f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; лямбда*e^-(лямбда*x), x>=0) f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; 1-e^-(лямбда*x), x>=0)

ГРАФИКИ

ТЕОРЕМА. Для M(X) и D(X) показательного распр-я справедливы рав-ва M(X)=1/лямбда, D(X)=1/лямбда^2

1. Согласно опред-ю M(X)=ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) x*лямбда*e^-(лямбда*x)dx= лямбда*ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) x*e^-(лямбда*x)dx=| u=x, du=dx; dv=e^-(лямбда*x)dx, v=(-1/лямбда)*e^-(лямбда*x)|= лямбда*((-x/лямбда)*e^-(лямбда*x)|0,беск + (1/лямбда)*ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) e^-(лямбда*x)dx)= лямбда((-1/лямбда)*e^-(лямбда*x)) |0, беск = -1/лямбда(0-1)=1/лямбда.

 ИНТЕГРАЛ udv=uv- ИНТЕГРАЛ vdu

ИНТЕГРАЛ (от a до b) udv=uv |a, b - ИНТЕГРАЛ(от a до b) vdu

D(X)=1/лямбда^2

D(X)=ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*f(x)dx-M^2(x)= лямбда*ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*e^-(лямбда*x)dx-1/лямбда^2.

Интегрируя 2 раза по частям получим

лямбда*ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*e^-(лямбда*x)dx=2/лямбда^2; D(X)= 2/лямбда^2-1/лямбда^2=1/лямбда^2.

В-ть попадания в интервал (a;b) показательного распределенной СВ вычисляется по формуле P(a<x<b)=e^-(лямбда*a)- e^-(лямбда*b).

P(a<x<b)=F(b)-F(a)=1- e^-(лямбда*b)-1+ e^-(лямбда*a)= e^-(лямбда*a)- e^-(лямбда*b).

Нормальное распределение, его числовые характеристики.

Нормальным называют распр-е в-тей НСВ, которое описывается плотностью f(x)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2], где a=M(X).

Данное распред-е определяется двумя параметрами: a и СКО, достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распред-е.

M(X)=a, D(X)=СКО^2

M(X)= ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)x*f(x)dx= ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)x*[(1/CКО*SQR2Пи)*e^-(x-a)/2*СКО^2].

ВВЕДЕМ замену (x-a)/СКО=t => x=a+ СКО*t; dx=(a+ СКО*t)dt= СКОdt

M(X)= ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск) (a+ СКО*t)* (1/CКО*SQR2Пи)*e^-((t^2)/2)*СКОdt=

=a*(1/CКО*SQR2Пи)*CКО*ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск) e^-((t^2)/2)*dt+СКО*(1/CКО*SQR2Пи)* СКО* ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск) e^-(t/2)d(-t^2/2)=a+0=a

D(X)=ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(x-M(x))^2*f(x)dx=ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(x-a)^2*(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]dx.

Вводим замену (x-a)/СКО=t => x=a+СКО*t. dx=(a+СКО*t)^2dt=СКОdt. tв=(+беск-а)/СКО=+беск; tн=(-беск-а)/СКО=-беск.

D(X)=ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(a+СКО*t-a)^2*(1/CКО*SQR2Пи)*e^-((t^2)/2)*СКОdt= СКО^2*(1/CКО*SQR2Пи)*СКО*ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(t^2)*e^-((t^2)/2)dt.

Интегрируем по частям

u=t, du=dt; dv=t*e^-((t^2)/2)dt, v=-e^-((t^2)/2).

СКО^2*[(1/SQR2Пи)t*-e^-((t^2)/2)|(-беск, +беск) - (1/SQR2Пи)*ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)-e^-((t^2)/2)dt]= СКО^2*[0+1]= СКО^2.

Нормальная кривая, ее свойства. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса)

f(x)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2].

СВОЙСТВА

1. Ф-я определена на всей оси абсцисс (х в степение => х-любое число)

2. При всех знач-ях х ф-ия принимает + значения, т.е. норм кривая расположена над осью Ох (y>0).

3. Предел ф-ии при неограниченном возрастании х (по абсолют величине) равен 0. lim(|x| -> беск)f(x)=0, т.е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой.

4. Исследуем ф-ию на экстремум и промежутки монотонности.

f ‘(x)=((1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2] )’=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]*-(2(x-a))/ 2СКО^2=-[(x-a)/СКО^3*SQR 2Пи]*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]

ГРАФИК

f ‘(x)=0 => -[(x-a)/СКО^3*SQR 2Пи]*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]=0 => x-a=0, x=a

fmax=f(a)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(a-a)^2/2СКО^2]= 1/СКО*SQR 2Пи.

5. Разность (x-a) содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е. график ф-ии симметричен относительно прямой х=а.

6. Исследуем ф-ию на точки перегиба. Найдем вторую производную.

f “=(f ‘(x))’=(-[(x-a)/СКО^3*SQR 2Пи]*e^-[(x-a)^2/2СКО^2])’=

=(1/СКО^3*SQR 2Пи)*[ e^-[(x-a)^2/2СКО^2]+ e^-[(x-a)^2/2СКО^2]*-(2(x-a)^2/2СКО^2)]=

=(1/СКО^3*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]*(1-((x-a)^2/СКО^2)).

f “=0 => 1-((x-a)^2/СКО^2)=0; (x-a)^2=СКО^2; (x-a)=+-СКО; x1, x2 = a+-СКО

f(a+-СКО)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(a+-СКО -a)^2/2СКО^2]=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[СКО^2/2СКО^2]= (1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[1/2]=0,7*(1/СКО*SQR 2Пи).

Графики ф-ий f(x) и f(x-a) имеют одинаковую форму. Сдвинув график в положительном направлении оси Ох на а единиц масштаба при a>0 и в отрицательном при а<0, получим график f(x-a). Отсюда следует, что изменение величины параметра а (мат ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возраст., и влево, если а убыв.

Максимум дифференциальной ф-ии норм распред-я равен 1/СКО*SQR 2Пи. Отсюда следует, что с возрастанием СКО макс ордината норм кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании СКО норм кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Найдем ф-ию распределения нормально распределенной СВ.

F(x)=ИНТЕГРАЛ(-беск до x)f(x)dx= ИНТЕГРАЛ(-беск до x)(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2].

Вводим замену (x-a)/СКО=u => x=a+СКО*u. dx=(a+СКО*u)^2du=СКОdu.

F(x)=ИНТЕГРАЛ(-беск до ((x-a)/СКО) ) (1/СКО*SQR 2Пи)*e^-((u^2)/2)*СКОdu=

(1/SQR 2Пи)*ИНТЕГРАЛ(-беск до 0) e^-((u^2)/2)du+(1/SQR 2Пи)*ИНТЕГРАЛ(0 до ((x-a)/СКО) ) e^-((u^2)/2)du=1/2+Ф((x-a)/СКО)

 Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда

P(альфа<Х<бета)=Ф((бета-а)/СКО)- Ф((альфа-а)/СКО).

ДОК-ВО. P(альфа<Х<бета)=F(бета)-F(альфа)=[1/2+Ф((бета-a)/СКО)]-[1/2+Ф((альфа-a)/СКО)]= Ф((бета-а)/СКО)- Ф((альфа-а)/СКО).

Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм.

Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда

P(|x-M(X)|<E)=2Ф(Е/СКО).

ДОК-ВО. |x-M(X)|<E <=> |x-a|<E <=> -E<x-a<E <=> a-E<x<a+E.

P(|x-M(X)|<E)=P(a-E<x<a+E)=Ф((а+Е-а)/СКО)- Ф((а-Е-а)/СКО)=Ф(Е/СКО)- Ф(-Е/СКО)=2Ф(Е/СКО).

 ПРАВИЛО трех сигм.

Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда

P(|x-M(X)|<3сигма)=2Ф(3)примерно=1

1-Ф(3)=0 (0,003). Если СВ распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от мат ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило 3х сигм применяют так: если распред-е изучаемой СВ неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распред-на нормально.

Неравенство Маркова.

Если СВ принимает только неотрицательные значения и имеет М(Х), то для любого + числа А верно нер-во: P(x>A)<= M(X)/A.

ДОК-ВО. Расположим знач-я ДСВ в порядке возрастания. Часть значений (x1;xk) будет не более числа А, а другая часть значений от х(k+1) до xn будет больше А.

M(X)=x1p1+…+xk*pk+…+x(k+1)*p(k+1)+…+xn*pn.

Отбросим первые k слагаемых, получим нер-во: x(k+1)*p(k+1)+…+xn*pn<=M(X)

Заменим знач-я СВ на А: А*p(k+1)+…+А*pn<=M(X)

p(k+1)+…+*pn<=M(X)/A

P(x>A)<= M(X)/A

P(x<=A)>=1 - M(X)/A

Неравенство Чебышева.

Для любой СВ, имеющей M(X) и D(X), справедливо нер-во Чебышева:

P(|x-a|>E)<=D(X)/E^2, где a=M(X), E>0.

ДОК-ВО. Применим нер-во Маркова и СВ Х’=(x-a)^2

P((x-a)^2>A)<= M((x-a)^2)/A.

Заменим нер-во (x-a)^2>A равносильным ему нер-вом |x-a|>E, где Е^2=A.

M((x-a)^2)=D(X) с мат ожиданием = а

P(|x-a|>E)<=D(X)/E^2.

P(|x-a|<=E)>=1-D(X)/E^2

ЗАМЕЧАНИЕ. Для СВ Х, имеющей биномиальный з-н рапред-я с М(Х)=n*p и D(X)=npq, нер-во принимает вид P(|x<np|>E) <=npq/E^2

(|x1-np|) = |x2-np| = Е

np=M(X)

Закон больших чисел в форме Чебышева.

Если D(X) n независимых СВ ограничены одной и той же пост величиной, то при неограниченном увеличении числа n, сред арифметическая СВ сходится по в-ти к сред ариф их M(X) a1, a2, an

lim(n->беск)P( |(x1+x2+…+xn)/n-(a1+a2+…+an)/n| < E)=1.

или СУММАxi(i=1 n)/n p/n->беск СУММАai(i=1;n)/n

Замечание: стремление сред арифметического СВ к сред ариф-му их М(Х) следует понимать не как категор утвержд., а как утвержд., в-ть которого гарантир-ся с в-тью сколь угодно близкой к 1 при n -> беск.

P( |xср-M(xср)|>E)<=C/n*E^2

D(X)<=C, D(X^2)<=C,…, D(xn)<=C