Совместные события. Сумма совместных событий. Теорема сложения совместных событий.

События А1, А2,…, Аn называются совместными, если появление одного из них не исключает появления всех остальных в одном и том же испытании.

НАПР., метеорологич. прогноз

А: ожидается дождь

В: ожидается ветер

События А и В совместны.

СУММОЙ n совместных событий А1, А2,…, Аn называется такое событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2,.., Аn.

ТЕОРЕМА «О сумме совместных событий».

В-ть суммы 2ух совместных событий равна сумме в-тей этих событий минус в-ть их совместного появления.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Док-во Поскольку А и В совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих несовместных событий: А*неВ; неА*В или А*В.

По теореме сложения в-тей несовместных событий

Р(А+В) = Р(неА*В) + Р(А*неВ) + Р(АВ) (1).

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий А*неВ или А*В.

По теореме сложения в-тей несовм. событий имеем Р(А) = Р(А*неВ) + Р(АВ) или

Р(А*неВ) = Р(А) – Р(АВ) (*)

Аналогично имеем

Р(В) = Р(неА*В) + Р(АВ) или Р(неА*В) = Р(В) – Р(АВ) (**)

Подставив (*) и (**) в (1) получим Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Замечание При использовании полученной формулы следует иметь ввиду, что события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.

- для независимых: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

- для зависимых: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В)

РА(В) – условная в-ть события В.

Следствие: В-ть суммы конечного числа совместных событий вычисляется по формуле

Р(А1+А2+…+Аn) = суммаi Р(Ai) + суммаi,j P(AiAj) + суммаi,j,k (Ai,Aj,Ak) - … + (-1) в степени (n-1) * сумма(i, n) P(П от n до i=1 * Ai)

Полная группа событий. Теорема о сумме событий, образующих полную группу.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными. НАПР., есть 2 лотерейных билета. А – выиграл 1 билет и не выиграл 2; В – выиграл 2ой билет и не выиграл 1й; С – выиграли оба; D – не выиграли оба.

СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма в-тей события А1, А2,…Аn, образующих полную группу, равна 1.

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

ДОК-ВО.  Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а в-ть достоверного события =1, то P(A1+A2+…+An)=1. Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Сравнивая получим P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1.

Зависимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Зависимыми называют такие 2 события, при появлении одного из которых вероятность появления другого изменяется.

НАПР. Выборка без возвращения. В ауд 50 студентов, из них 5 сдали на 5ку. Вызывают 1го студента и отправляют его в деканат. Какова в-ть того, что это пятерочник. (5/50). След. (4/49), (3/48).

В-ть Ра(В) наз-ся условной в-тью появления события В при условии, что А уже произошло.

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ событий А1, А2, …, Аn наз-ся такое событие, которое предполагает совместное появление всех этих событий А1, А2, Аn.

НАПР., Если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

ТЕОРЕМА «О произведении зависимых событий». В-ть произведения 2х зависимых событий равна произведению в-ти одного из них на условную в-ть другого.

Р(АВ) = Система: Р(А)*Ра(В) и Р(В)*Рb(А)

Док-во: Пусть событию А из n испытаний благоприятствует m исходов. Тогда при появлении А, событию В будет благоприятствовать k<=m исходов. Поэтому совместному появлению события А и В будет благоприятствовать только k исходов.

Р(АВ) = k/n=k/n*m/m=m/n*k/m=P(A)*Pa(B).

СЛЕДСТВИЕ. В-ть совместного появления n событий равна произведению в-ти одного из них на условные в-ти всех остальных.

Р(А1,А2,А3,…,Аn) = Р(А1)*Ра1(А2)*Ра1а2(А3)*…*Ра1а2…а(n-1)(An).

Независимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Независимые события – события, при появлении одного из которых в-ть появления другого не меняется.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

НАПР. Если события А1, А2, А3 независимы в совокупности, то независимы события А1 и А2, А1 и А3, А2 и А3, А1 и А2А3, А2 и А1А3, А3 и А1А2.

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ событий А1, А2, …, Аn наз-ся такое событие, которое предполагает совместное появление всех этих событий А1, А2, Аn.

ТЕОРЕМА «О произведении независимых событий». В-ть произведения 2ух независимых событий равна произведению в-тей этих событий.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

ДОК-ВО. Т.к. события А и В – независимы, то Ра(В)=Р(В) и Рв(А)=Р(А).

Тогда по ТЕОР. «О в-ти произведения зависимых событий» имеем:

Р(АВ) = Система: Р(А)*Ра(В)=Р(А)*Р(В) и Р(В)*Рв(А)=Р(В)*Р(А).

СЛЕДСТВИЕ. В-ть совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению в-тей этих событий. Р(А1,А2…Аn) = Р(А1)*Р(А2)*…*Р(Аn).

Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий А1, А2, Аn независимых в совокупности. Тогда событие А = А1+А2+…+Аn+А1А2+А1А3+…+Аn-1An+…+A1A2*An будет обозначать следующее: произошло хотя бы одно из событий А1, А2…Аn.

ТЕОРЕМА. В-ть появления хотя бы одного события из событий А1…Аn, независимых в совокупности, равна разнице м/д единицей и произведением в-тей противоположных событий А1|, A2|, An|.

Р(А) = 1 – Р(А1|)*P(A2|)*…*P(An|) или P(A) = 1 – q1*q*qn

ДОК-ВО. Т.к. события А и А1|*A2|*…*An| противоположны, то Р(А)+Р(А1|*A2|*…*An|)=1.

Тогда Р(А) = 1 - Р(А1|*A2|*…*An|). Т.к. события независимы в совокупности, то Р(А) = 1 – Р(A1|)*P(A2|)*P(An|).

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в-ти наступления всех событий А1, А2, Аn совпадают, т.е. Р(А1)=Р(А2)=Р(Аn), тогда формула примет вид Р(А)=1-q^n.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2…, Нn, образующих полную группу. Пусть известны в-ти этих гипотез и условные вероятности Рн1(А), Рн2(А),…, Рнn(A).

Постановка задачи: какова в-ть появления событии А?

ТЕОРЕМА. В-ть события А, которое может наступить лишь при условии появления одной из попарно несовместных гипотез Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу, равна сумме произведений в-тей каждой из этих гипотез на соответствующую условную в-ть события А.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ В-ТИ: Р(А) = Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)Рнn(А), где СУММА Р(Н)=1.

ДОК-ВО. Т.к. событие А наступает при условии наступления одной из гипотез, то появление события А означает осуществление одного из следующих событий Н1А, Н2А, …, НnА.

Тогда по теореме сложения вероятностей: Р(А)=Р(АН1+АН2+АНn)=Р(АН1)+Р(АН2)+Р(АНn).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(Н1А) = Р(Н1)Рн1(А); Р(Н2А) = Р(Н2)Рн2(А); Р(НnА) = Р(Нn)Рнn(А).

Р(А) = Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)Рнn(А).

НАПР. Имеются 2 урны с шарами. В 1ой урне 5 белых и 7 черных шаров, во 2ой – 3 белых и 5 черных. Выбирается урна, из неё извлекается шар. Какова в-ть того, что он белый?

РЕШ-Е. 1. Исп.: сначала выбирается урна, затем извлекается шар. 2. Событие А: шар белый. Гипотеза Н1: выбирается 1ая урна. Гипотеза Н2: выбирается 2ая урна. 3. Р(А) = Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А).

Р(Н1) = 0,5, Р(Н2) = 0,5. Сумма Р(Н) = 1.

Рн1(А) = 5/12; Рн2(А) = 3/8.

Р(А) = 0,5*5/12+0,5*3/8=19/48.

ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

Пусть в результате испытания стало известно, что событие А произошло.

Постановка задачи: определить, как изменились в-ти гипотез Ра(Н1), Ра(Н2), Ра(Нn).

Найдем условную в-ть Ра(Н1).

По т. умножения имеем Р(АНi) = Р(А)Ра(Нi) = Р(Нi)Рнi(А).

Отсюда Ра(Нi) = Р(Нi)Рнi(А)/Р(А). Заменив знаменатель формулой полной в-ти получаем ФОРМУЛУ БАЙЕСА: Ра(Н) = Р(Нi)Рнi(А)/ Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)Рнn(А).

НАПР. Имеются 3 группы студентов. 1-24ст., 2-36, 3-40.

В 1ой группе экзамен сдали на 5ку 6 ст., во второй – 6, в третьей – 4.

Сначала всех студентов собрали, а потом выбрали одного. Выбран отличник. Найти в-ть того, что отличник из 1ой группы.

РЕШ-Е. 1. Испытание: сначала студентов собирают вместе, затем выбирают одного. 2. Событие А: выбран отличник. Гипотеза Н1: студент 1ой гр. Гипотеза Н2: студ 2ой гр. Гипотеза Н3: студ 3ей гр.

3. Ра(Нn) = Р(Нi)Рнi(А)/Р(А).

Р(Н1) = 24/100, Р(Н2) = 36/100, Р(Н3) = 40/100. Ра(Н1) = 6/24, Ра(Н2) = 6/36, Ра(Н3) = 1/10.   Ра(Н1) = 0,24*0,25/0,16 = 0,375.