Равномерное дискретное распределение, его числовые характеристики.

ДСВ называется распределенной по равномерному з-ну, если она принимает свои возможные значения с пост в-тью: Pn(X=xi)=1/n

НАПР., выпадение разного кол-ва очков на игральном кубике.

 ТЕОРЕМА. Мат ожидание и дисперсия равномерно распределенной ДСВ вычисляется по формулам:

М(Х) = Сумма(xi)/n; D(X)=Сумма(x^2)/n-[Сумма(xi)/n]^2.

ДОК-ВО. Пусть СВ Х распределена равномерно => её з-н распред-я имеет вид xi-x1-x2-xn; pi-1/n-1/n-1/n.

M(X) = x1/n+x2/n+xn/n = Сумма(хi)/n

D(X) = M(x^2)-[M(X)]^2 = Сумма(хi^2)/n-[Сумма(хi)/n]^2

Биномиальное распределение, его числовые характеристики.

ДСВ Х наз-ся распред-ой по биномиальному з-ну, если проводимые испытания удовлетворяют схеме Бернулли, а в-ть вычисляется по одноименной формуле Pn(X=m) = Cn^m*p^m*q^(n-m); m=[0;n].

X-0-1-2-n; P-q^n-n*p*q^(n-1)-Cn^2*p^2*q^(n-2)-p^n.

Pn(X=1)=Cn^1*p^1*q*(n-1)=p*q^(n-1).

НАПР. Монета брошена 2 раза. З-н распред-я в-тей выпадения герба: Х-0-1-2; Р-0,25-0,5-0,25.

Р2(2)=С2^2*p^2*q^0=(1/2)^2=0,25

P2(1)=C2^1*p*q=2*(1/2)*1/2=0,5

P2(0)=C2^0*q^2=(1/2)^2=0,25

ТЕОРЕМА. Мат ожидание и дисперсия ДСВ, распределенной по биномиал з-ну распред-я, вычисляется по формулам: М(Х) = n*p, D(X) = n*p*q

ДОК-ВО. Пусть СВ Хi – число появлений события А в i-ом испытании (i=[1;n]).

Тогда СВ Х=х1+х2+хn – число появлений события А во всех n испытаниях. Каждая из СВ может иметь один и тот же з-н распределения: xi-0-1; pi-q-p. Тогда М(Хi)=0*q+1*p=p

D(Xi)=M(xi^2)-[M(xi)]^2=0^2*q+1^2*p-p^2 = p-p^2=p(1-p)=pq.

Согласно свойствам мат ожидания и дисперсии

M(X) = M(x1+x2+xn)=M(x1)+M(x2)+M(xn)

D(X) = D(x1+x2+xn)=D(x1)+D(x2)+D(xn)

Т.о. искомые числовые характеристики М(Х) = p+p+p=np; D(X)=pq+pq+pq=npq.

Пуассоновское распределение, его числовые характеристики.

ДСВ Х наз-ся распред-ой по з-ну распр-я Пуассона, если проводимые испытания удовлетворяют теореме Пуассона и в-ть вычисляется по формуле Pn(X=m)= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.

X-0-1-m; P-e^(-лямбда)- лямбда*e^(-лямбда)-((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.

НАПР. На телефон поступает в среднем 2 вызова в ед времени. Среднее число вызовов Т (лямбда=2).

Р(Х=0)=2^0*e^-2/0!=1/e^2=0,1353.

P(X=1)=2^1*e^-2/1!=2/e^2.

P(X=2)=2^2*e^-2/2!=2.

M(X)=D(X)= лямбда=np.

ДОК-ВО. Согласно определениям распр-я Пуассона и мат ожидания имеем

М(Х)=Сумма(от 0 до беск) m*(((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда)= Сумма(от 0 до беск) ((лямбда^m)/(m-1)!)*e^-лямбда= лямбда*e^(-лямбда)* Сумма(от 1 до беск)((лямбда^(m-1))/(m-1)!)= лямбда*e^(- лямбда)*e^ лямбда= лямбда.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из курса высшей математики известно, что ряд вида Сумма(от 0 до беск) x^m/m! = 1+x+x^2/2!+…=e^x представляет собой сходящийся на всей числовой оси ряд Маклорена.

НЕТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА D(X)

Геометрическое распределение, его числовые характеристики.

ДСВ Х называю распред-ой по геометрическому з-ну распред-я, если она отражает число проведенных испытаний до первого появления события А. Pn(X=m)=p*q^(m-1), m[1;n].

X-1-2-3; P-p-pq-p*q^2.

НАПР. Р=0,7 до первого попадания.

Х-1-2-3; Р-0,7-0,21-0,063.

Р(Х=1)=0,7

Р(Х=2)=qp=0,3*0,7=0,21

P(X=3)=q^2*p=0,3^2*0,7=0,063.

M(X)=1/p; D(X)=q/p^2. ДОК-ВО. По опред-ю геометрического з-на имеем след з-н распред-я:

Xi-1-2-3; Pi-p-pq-p*q^2.

Тогда M(X) = Сумма(от 1 до беск) xi*pi=p+2pq+3p*q^2+…+mp*q^(m-1)=p*Сумма(от 1 до беск)m*q^(m-1).

D(X) = Сумма(от 1 до беск)xi^2*pi-M^2(x)=p+2^2*pq+3^2*p*q^2+…+m^2*p*q^(m-1)-M^2(x) = p* Сумма(от 1 до беск)m^2*q^(m-1) – M^2(x).

Из теории рядов известно, что

Сумма(от 1 до беск)m*q^(m-1) = 1/(1-q)^2; Сумма(от 1 до беск)m^2*q^(m-1) = (1+q)/(1-q)^3.

Тогда М(Х) = p*1/(1-q)^2=1/p; D(X) = p*(1+q)/p^3-1/p^2=q/p^2.

Гипергеометрическое распределение, его числовые характеристики.

Пусть имеется множество из n элементов s из которых обладают фиксированным свойством. Пусть из этого множества осуществляется выборка объемом r. Число m обладает фиксированным свойством среди выбранных.

Тогда Pn(x=m)=Cs^m*C(n-s)^(r-m)/Cn^r.

НАПР. Всего 20 студентов. Из них 3 сопливых. Вызвано 5. Сколько из них могут быть сопливыми (m). X-0-1-2-3; P-…

M(X)= r*s/n

D(X)=r*(s/(n-1))*(1-s/n)*(1-r/n)

Функция распределения F(х), ее свойства.

Ф-ей распределения СВ Х наз-ся такая ф-я F(x), которая определяет в-ть того, что эта СВ Х в результате испытания примет значение меньшее, чем (заранее известная) х. F(x)=P(X<x).

СВОЙСТВА Ф-ИИ.

1. 0<=F(x)<=1. Из определения ф-ии F(x) или в-ти: в-ть есть неотрицательное число, не превышающее 1.

2. F(x2)>= F(x1), если х2>x1. Пусть х2>x1, тогда Р(Х<x2)= Р(Х<x1)+P(x1<=X<x2); 

Р(Х<x2)- Р(Х<x1)= P(x1<=X<x2); F(x2)-F(x1)= P(x1<=X<x2) т.к. в-ть >0

F(x2)>=F(x1)

Поскольку разность >0, то уменьшаемое больше вычитаемого ГРАФИКИ

СЛЕДСТВИЯ из СВ-ВА 2.

Следствие 1. В-ть того, что СВ Х примет значение, заключенное на интервале (a;b), равна приращению ф-ии распред-я на этом интервале. P(a<x<b)=F(b)-F(a).

Следствие 2. В-ть того, что НСВ Х примет одно определенное значение, равна 0.

НАПР, СВ Х задана ф-ей

F(x)=система 0, при х<=-1; x/4+1/4, при -1<x<=3; 1, при х>3. Найти в-ть того, что в результате испытания СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2).

F(2) = 2/4+1/4=3/4

F(0) = 0/4+1/4=1/4

P(0<x<2) = 3/4-1/4=2/4=0,5

СВОЙСТВО  3

Если все возможные значения СВ Х принадлежат (a;b), то F(x)=0, при x<=a, F(x)=1, при x>=b. ДОК-ВО 1) Пусть х1<=a, тогда событие Х<x1 невозможно => в-ть его равна 0.

2) Событие Х<x2 достоверно, т.к. все возможные значения Х меньше х2 => в-ть его=1.

СЛЕДСТВИЕ. Если возможные значения НСВ расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные соотношения limF(x)=0 (х-> к –беск); limF(x)=1 (x -> к + беск)

Плотность распределения вероятностей f(х), ее свойства.

Плотностью распределения в-тей НСВ называется первая производная от ф-ии распределения f(x)=F’(x).

Вероятностный смысл f(x).

f(x)=F’(x)=lim (дельта х -> 0) (F(x+ дельта x)-F(x))/ дельта x. В числителе дроби – в-ть того, что СВ Х попадет в интервал (x+ дельта x; х). Приращение ф-ии к приращению аргумента, при стремлении последнего к «0».

В знаменателе (дельта x) – длина интервала.

Т.о., f(x) отражает в-ть попадания СВ в интервал при сколь угодно малой его длине. f(x) = P(x; x+ дельта x) (дельта x стремится к 0).

СВОЙСТВА f(x).

1. Плотность распр-я – неотрицательная ф-ия: f(x)>=0.

Геометрическая интерпретация свойства. Оно означает, что гр-к ф-ии f(x) лежит либо выше оси абсцисс, либо на ней. Кривая распределения ГРАФИК

2. В-ть того, что СВ примет знач-е, принадлежащее от а до в равна определенному интегралу от ф-ии плотности в-ти, взятому в пределах от а до в.

Р(а<x<b) = Интеграл от а до b f(x) dx.

ДОК-ВО. Из свойств ф-ии распред-я известно, что дельтаР(a<x<b) = F(b)-F(a). По формуле Ньютона-Лейбница известно, что

Интеграл от а до b F’(x)dx= Интеграл от а до b f(x)dx.

Геометрически это свойство означает, что в-ть попадания СВ в интервал (a;b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной ф-ей y=f(x) сверху и прямыми х=а и x=b по обеим сторонам.

НАПР. Задана ф-ия плотности распред-я в-тей f(x)=система 0, при x<=0; 2x, при 0<x<=1; 0, x>1. Найти в-ть того, что в результате испытания НСВ попадет в интервал от 0,5 до 1. Р(0,5;1) - ?

Р(0,5;1)=интеграл (от 0,5 до 1) 2х dx = x^2 | 0,5 и 1 = 1-0,25=0,75.

СВОЙСТВО 3. Несобственный интеграл от ф-ии плотности в пределах от -беск до +беск равен 1. Интеграл(от –беск до +беск) f(x)dx=1.

ДОК-ВО. Предположим, что все значения СВ расположены на интервале (-беск; +беск). Тогда в-ть того, что значение СВ попадет в этот интервал = 1. А это не что иное, как искомый интеграл.

P(-беск<x<+беск)=1= Интеграл(от –беск до +беск) f(x)dx.

Геометрически это значит, что если

ЗАМЕЧАНИЕ. Если все значения СВ сосредоточены на отрезке [a;b], тогда интеграл от ф-ии плотности также = 1.  Интеграл ( от а до b) f(x)dx = 1.

Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

ТЕОРЕМА. Ф-ия распределения связана с ф-ей плотности следующим равенством F(x) = Интеграл (от –беск до х) f(x)dx.

ДОК-ВО. F(x)=P(X<x)=P(-беск<X<x)=Интеграл (от –беск до х) f(x)dx. По свойству 2 ф-ии плотности.