Несовместные события. Сумма несовместных событий. Теорема сложения несовместных событий.

Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, имеющие место в массовых однородных испытаниях (МОИ).

Испытание – это комплекс каких-либо условий, действий.

МОИ – это такие испытания, которые теоретически могут быть продолжены до бесконечности (учёба, соц.опросы, подбрасывание монеты).

Исход испытания – возможный результат испытания.

Событие – это абстракция исхода испытания (произошло явление в МОИ или нет).

НАПР., подбрасывание монеты – испытание, а появление «орла» - событие.

Событие принято обозначать большими лат. буквами A, B, C.

ВИДЫ СОБЫТИЙ:

1. Достоверным называется событие, которое произойдёт при любом исходе испытания.

2. Невозможное – не произойдет ни при каком исходе испытания.

3. Случайное – может произойти в результате испытания или нет.

НАПР., Подбрасывается игральный кубик.

Событие А – число очков не > 6: достоверное.

Событие В – число очков > 6: невозможное.

Событие С – от 1 до 6: случайное.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1. Равновозможные – такие, для которых сущ-вуют равноправие отдельных исходов испытания.

НАПР., извлечение короля, туза, дамы, валета из колоды карт.

2. Единственновозможные - такие, если в испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

НАПР., В семье 2 детей: А – 2 мальчика, В – 2 девочки, С – 1 м. и 1 д.

Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика – наука о соединениях. Под соединением понимают любую совокупность элементов некоторого множ-ва.

НАПР., множ-во студентов, сидящих в аудитории.

Все соединения делятся на 3 группы:

1)Размещения. Р-ми из n эл-тов по m ( ) называются такие соед-я, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком соединения эл-тов, либо тем и другим вместе.

Аnm = n!/(n-m)!

Задача. Сколько различных 2значных чисел можно составить из множ-ва цифр {1;2;3;4}, причем так, чтобы цифры числа были различными.

n=4, m=2

А из 4 по 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) Сочетания. Сочетаниями из n эл-тов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом эл-тов (порядок следования не важен)

С из n по m = n!/m!*(n-m)!

Задача. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить путевки в санаторий Уссури.

n=30, m=3/

C из 30 по 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Перестановки (Pn). Перестановками из n эл-тов называются такие соединения, которые включают в себя все n эл-тов и отличаются друг от друга только порядком их соединения.

Pn=n!

Задача. Скольким числом способов можно расставить в шеренгу 6 курсантов на плацу.

P6 = 6! = 720

ПРАВИЛО СУММЫ – если объект а может быть выбран из множ-ва различными s способами, а объект b – различными r способами, тогда выбор одного из эл-тов a или bar может быть осуществлен различными r+s способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ – если объект а может быть выбран различными s способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран различными r способами, тогда выбор пары эл-тов может быть осуществлен различными r*s способами (а и b = r*s).

Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).

СВОЙСТВА В-ТИ:

1) В-ть достоверного события = 1.

Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0<m<n. Значит 0<P(S)<1.

0<m/n<n / n

0<m/n<1.

Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1.

Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.

W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний.

В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после.

УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A).

СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.

Несовместные события. Сумма несовместных событий. Теорема сложения несовместных событий.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления всех остальных событий в одном и том же испытании.

НАПР., из колоды извлекаем 1 карту. События А, В, С – несовместны. А – появился король, В – появилась дама, С – появился туз.

Два события А и неА называются противоположными, если они являются несовместными и одно из них обязательно произойдет.

НАПР., брошена монета. А – появился герб, В – появилась решка. А и В противоположны.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными. НАПР., есть 2 лотерейных билета. А – выиграл 1 билет и не выиграл 2; В – выиграл 2ой билет и не выиграл 1й; С – выиграли оба; D – не выиграли оба.

СУММОЙ несовместных событий А1, А2,…,Аn называется такое событие, которое состоит в наступлении какого-либо одного из событий А1, А2,…, Аn.

НАПР., подбрасывается игральная кость. А – выпала «пятерка»; В – выпало четное число. Событие (А+В) – выпала «пятерка» или четное число.

ТЕОРЕМА «О сумме несовместных событий».

В-ть суммы конечного числа несовместных событий равна сумме в-тей этих событий.

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1) + (А2) + …+ Р(Аn)

Док-во. 1. Докажем теорему для случая 2ух событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания, m1 – число исходов, благоприятных для А; m2 – для В. (m1+m2) – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо событию А, либо событию В. Следовательно:

Р(А+В) = (m1+m2)/n = m1/n + m2/n.

Т.к. m1/n = Р(А) и m2/n = P(B), то получим:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

2) Методом математической индукции докажем теорему для любого конечного числа событий. Предположим, что для n событий утверждение верно, т.е.

Р(А1+А2+…+Аn) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) и докажем для (n+1) события.

Тогда Р(А1+А2+…+Аn + A(n+1)) = Р[(A1+A2+…+An + A(n+1))] = P(A1+A2+…+An) + P(A(n+1)

С учетом нашего предположения, имеем

Р(А1+А2+…Аn + A(n+1)) = Сумма Р(Аi) (сумма от 1 до n+1).

СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма в-тей события А1, А2,…Аn, образующих полную группу, равна 1.

СЛЕДСТВИЕ 2. Сумма в-тей противоположных событий равна 1.