Математические операции над случайными величинами.

Пусть СВ Х и У заданы след. з-ми распред-я (X-х1-х2-хn; P-p1-p2-pn) и (Y-y1-y2-ym; P-p’1-p’2-p’m).

Две СВ называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если з-н распред-я одной не зависит от того, какие значения приняла другая.

Несколько СВ называются взаимно независимыми, если з-ны распред-я любого кол-ва из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.

ОПЕРАЦИИ

1. СВ можно умножать на число – произведением пост. С на СВ Х называется новая СВ Z=СХ, которая принимает свои значения Zk=CХi с вероятностями P(Z=zn)=P(X=xi)

2. СВ можно складывать (вычетать). Суммой 2-х СВ Х и У наз нов СВ Z=X+Y для которой

А) возможные значения равны всевозможным суммам возможных знач-ий СВ Х и У, т.е. Zk=xi+yi; (i=[1;n]; j=[1;m])

Б) соответственные в-ти находятся из условия:

P(Z=zk)=СуммаP(X=xi)*P(Y=yi); (i=[1;n]; j=[1;m])

Для зависимых:

P(Z=zk)=СуммаP(X=xi)*Px=xi(Y=yi); (i=[1;n]; j=[1;m])

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично опред разность и произведение СВ (! % нельзя)

Числовые характеристики случайных величин.

Параметры, выражающие наиболее важные особенности СВ, называются числовыми характеристиками СВ.

1 группа – хар-тики положения СВ на числовой оси (мат ожидание, мода, медиана)

2 группа – характеристики, оценивающие меру разброса (рассеяния) СВ вокруг среднего (дисперсия, СКО)

Математическое ожидание дискретной случайной величины, его вероятностный смысл.

Мат ожидание – сумма произведений её возможных значений на соответствующую в-ть.

Пусть СВ Х принимает знач-я х1, х2, хn, в-ти которых соотв равны p1, p2, pn.

Тогда мат ожидание М(Х) СВ Х опред рав-вом М(Х)=х1р1+xn*pn=Сумма(от 1 до n) xi*pi

Вероятностный смысл мат ожидания. Пусть произведено n испытаний в которых СВ Х приняла х1-m1 раз … xk-mk раз, причем m1+m2+mn=1.

Тогда сумма всех принятых Х равна x1m1+x2m2+…xk*mk

Найдем среднюю арифметическую. Хсред=(x1m1+x2m2+…xk*mk)/n

Xсред=x1m1/n+x2m2/n+xk*mk/n=x1*m1/n+x2*m2/n+xk*mk/n;   

W – относительная частота w=mk/p

Хсред= x1w1+x2w2+xk*wk=x1p1+x2p2+xk*pk – Мат ожидание

Если число испытаний достаточно велико, то отн частота будет незначительно отличаться от в-ти. Хсред примерно=М(Х)

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ полученного результата таков:Мат ожидание приблизительно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.

Свойства математического ожидания.

1. Мат ожидание постоянной равно ей самой M(C) = C. ДОК-ВО. Будем рассматривать пост С как ДСВ, которое имеет одно возможное значение С и примет его с пост. в-тью р=1 => M(C)=C*1=C

2. Пост. множитель можно выносить за знак мат ожидания M(CX)=C*M(X)

ДОК-ВО. Из определения мат ожидания – сумма произведений её возм значений на соотв в-ть.

(X-х1-хn; P-p1-pn) и (CX-cx1-cxn; P-p1-pn)

Мат ожидание M(C)=Cx1p1+…Cxnpn=C(x1p1+…+xnpn)=CM(X)

3. Мат ожидание суммы (разности) 2-х СВ равна сумме (разности) их мат ожиданий M(X+-Y)=M(X)+-M(Y).

ДОК-ВО. Докажем, что M(X+Y)=M(X)+M(Y). Согласно опр мат ожидания и опр суммы 2-х СВ будем иметь M(X+Y)=СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)(xi+yj)*pij= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*pij+СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)yj*pij=СУМ(i=1;n)xi*СУМ(j=1;m)pij+ СУМ(j=1;m)yj*СУМ(i=1;n)pij= СУМ(i=1;n)xi*pi+СУМ(j=1;m)yj*pj=M(X)+M(Y).

ДОК-ВО разности аналогично.

4. Мат ожидание произв 2-х незав СВ равно произведению их мат ожиданий M(XY)=M(X)*M(Y). ДОК-ВО. Из опр мат ожидания и произв СВ M(XY)= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*yj*pij

Т.к. по условию x и y независимые, то Pij=P(X=xi)*P(Y=yj)=pi*pj.

M(XY)= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*yj*pi*pj= СУМ(i=1;n)xi*pi * СУМ(j=1;m)yj*pj=M(X)*M(Y).

5. Если все знач-я СВ увеличить (уменьшить) на нек число С, то мат ожидание увел (умен) на это же число M(X+-C)=M(X)+-C;M(X+C)=M(X)+M(C)=M(X)+C.

6. Мат ожидание отклонения СВ от её мат ожидания равно 0. M(x-M(x))=0.

Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления.

ДИСПЕРСИЕЙ (рассеянием) ДСВ называют мат ожидание квадрата отклонения СВ от её мат ожидания D(X)=M[x-M(x)]^2.

D(X)= [x1-M(x)]^2*p1+[x2-M(x)]^2*p2+[xn-M(x)]^2*pn.

ТЕОРЕМА. ДИСПЕРСИЯ равна разности м/д мат ожиданием квадрата СВ Х и квадратом её мат ожидания D(X)=M(x^2)-M(X)^2.

ДОК-ВО. Мат ожидание M(X) есть пост величина => 2M(X) и M(X)^2 есть также пост величины.

D(X)=M[x-M(x)]^2=M[x^2-2M(X)+M^2(x)]=M(x)^2-2M(x)M(x)+M^2(x)=M(x)^2-2M^2(x)+M^2(x)=M(x)^2-M^2(x).

Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

1. ДИСП пост величины С = 0. D(C)=0.

ДОК-ВО. По опр дисперсии D(C)=M(C-M(C))^2. Пользуясь первым свойством мат ожидания получим D(C)=M(C-С)^2=M(0)=0.

2. Пост множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат. D(CX)=C^2*D(X).

По опр дисперсии D(CX)=M([Cx-M(CX)]^2)=M([C^2*(x-M(x)]^2)=C^2*M[X-M(X)]=C^2*D(X).

3. Дисперсия суммы (разности) 2ух СВ равна сумме дисперсий этих величин. D(X+-Y)=D(X)+D(Y).

По теореме

D(X+Y)=M[(X+Y)^2]-[M(X+Y)]^2=M[x^2+2xy+y^2]-[M(x)+M(y)]^2=M(x^2)+2M(x)M(y)+M(y^2)-M^2(x)-2M(x)M(y)-M^2(y)=[M(X^2)-M^2(x)] + [M(Y^2)-M^2(y)]=D(X)+D(Y).

4. Дисперсия произведения 2ух независимых СВ X и Y вычисляется по формуле

D(XY)=D(X)*D(Y)+M^2(X)*D(Y)+M^2(Y)*D(X).

СКО СВ Х называют квадратный корень из дисперсии. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ. Т.к. СКО равно кв корню из дисперсии, то размерность СКО совпадает с размерностью Х.

В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность СВ, вычисляют СКО, а не дисперсию.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин, их свойства.

Пусть НСВ Х задана плотностью распределения f(x). Пусть все значения Х принадлежат отрезку от а до b. Разобьем этот интервал на n частичных отрезков длиной дельта х1, дельта х2, дельта хn и выберем в каждом из них произвольную точку xi. Составим сумму произведений возможных значений xi на вероятности попадания их в интервал дельта xi (произведение f(x)*дельта x приближенно равно в-ти попадания Х в интервал дельта х): СУММА xi*f(xi)*дельта xi. Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx.

МАТ ОЖИДАНИЕМ НСВ Х, возможные значения которой принадлежат промежутку [a;b] называют определенный интеграл M(x)= ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если все возможные значения СВ принадлежат всей числовой оси, то формула будет

M(x)= ИНТЕГРАЛ(от -беск до +беск) х*f(x)dx.

ДИСПЕРСИЕЙ НСВ Х называют мат ожидание квадрата её отклонения от мат ожидания. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то D(X) = ИНТЕГРАЛ (от a до b) (x-M(x))^2*f(x)dx, если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то D(X) = ИНТЕГРАЛ (от –беск до +беск) (x-M(x))^2*f(x)dx.

Также D(X) = ИНТЕГРАЛ (от a до b) x^2*f(x)dx –M^2(x)

СКО = SQR ДИСПЕРСИЯ

СВОЙСТВА числовых характеристик НСВ совпадают со свойствами для случая ДСВ

Равномерное непрерывное распределение, его числовые характеристики.

НСВ наз-ся распред-ой по равномерному з-ну на отрезке [a;b], если ф-ия плотности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне этого отрезка, т.е. f(x)=СИСТЕМА (0, x<a; C, a<=x<=b; 0, x>b).

Найдем С. Согласно свойству f(x) (необоснованный интеграл с бесконечными пределами от ф-ии плотности равен 1) имеем:

ИНТЕГРАЛ (-беск до +беск) f(x)dx=1 => ИНТЕГРАЛ (от а до b) f(x)dx=1 => ИНТЕГРАЛ (от а до b)Cdx=1 => Cx | a, b=1 => C=1/(b-a)

f(x)=СИСТЕМА (0, x<a; 1/(b-a), a<=x<=b; 0, x>b).

F(X)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) f(x)dx

1) При x<a, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) 0dx=0

2) При a<=x<=b, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до a)0dx+ ИНТЕГРАЛ (от a до х)1/(b-a)dx=x/(b-a)-a(b-a)

3) При x>b, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до a)0dx+ ИНТЕГРАЛ (от a до b)1/(b-a)dx+ ИНТЕГРАЛ (от b до х)0dx=x/(b-a) | a, b=b/(b-a)-a/(b-a)=1

F(x)=СИСТЕМА(0, x<a; (x-a)/(b-a), a<=x<=b; 1, x>b).

ТЕОРЕМА. Числовые хар-тики НСВ вычисляются по формулам M(X)=(a+b)/2; D(X)=(b-a)^2/12

M(X)=ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx=ИНТЕГРАЛ(от a до b) x*1/(b-a)dx=x^2/2(b-a) | a, b=b^2/2(b-a)-a^2/2(b-a)=[(b-a)*(b+a)]/2(b-a)=(b+a)/2.

D(X)= ИНТЕГРАЛ(от a до b)x^2*f(x)dx-M^2(X)= ИНТЕГРАЛ(от a до b)x^2*1/(b-a)dx-[(b+a)/2]^2= x^3/3(b-a) |a,b – (b-a)^2/4=b^3/3(b-a)-a^3/3(b-a)-(b^2+2ab+a^2)/4=(b-a)(b^2+ab+a^2)/3(b-a)-(b^2+2ab+a^2)/4=(4b^2+4ab+4a^2-3b^2-6ab-3a^2)/12=(b^2-2ab+a^2)/12=(b-a)^2/12.

СКО=(b-a)/2*SQR3

ТЕОРЕМА. В-ть того, что равномерно распр СВ попадет в интервал (c;d) принадлежащий [a;b], вычисляется по формуле P(c<X<d)=(d-c)/(b-a).

P(c<X<d)= ИНТЕГРАЛ(от c до d) 1/(b-a)dx=x/(b-a) |с,d= d/(b-a)-c/(b-a)=(d-c)/(b-a).