Схема Бернулли. Теорема Бернулли, следствия.

Пусть проводится n испытаний, в каждом из которых событие А имеет фиксированную в-ть Р.

СХЕМА испытаний Бернулли.

1. Все n испытаний независимы друг от друга

2. Каждое испытание имеет 2 исхода (событие произошло или нет)

3. В-ть наступления события А в каждом испытании постоянна и равна Р. Р(А) = Р. Р(А|)=1-p=q.

ТЕОРЕМА Бернулли. Если проводится n испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, то в-ть того, что событие А произойдет в них ровно m раз, вычисляется по формуле: Pn(m) = Cn^m*p^m*q^(n-m); m=[0;n]. В-ть того, что в n испытаниях событие А произойдет m раз равно…

ДОК-ВО. Пусть событие А в n испытаниях произошло m раз. Тогда наступило событие {ААА…}m, {A|A|A|…A|} (n-m).

В-ть этого события по теореме умножения независимых событий равна p^m*q^(n-m).

Число таких комбинаций, в которых событие А произойдет m раз, вычисляется как число сочетаний Cn^m. Pn(m) = Cn^m*p^m*q^(n-m).

СЛЕДСТВИЯ

1) В-ть появления хотя бы одного события в испытаниях, удовлетворяющих т. Бернулли, вычисляется по формуле Pn(m>=1) = 1-P(0) = 1-q^n.

2) В-ть того, что в n испытаниях, удовлетворяющих т. Бернулли, событие А произойдет от m1 до m2 раз, вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2) = СуммаРn(m) = СуммаCn^m*p^m*q^(n-m). 

НАПР. В среднем 20% пакетов акций продаются по первоначално заявленной цене. Найти в-ть того, что из 9 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано а) 5 пакетов; б) не более 2ух пакетов.

Дано: n=9, p=0,2, q=0,8. Найти: а) Р9(5); б)Р9(0<=m<=2).

А) Р9(5) = С9^5*p^5*q^(9-5) = (9!/5!*4!)*0,2^5*0,8^4 = 14*0,00032*0,4096=0,0018

Б) Р9(0<=m<=2) = (9!/0!*9!)*0,2^0*0,8^9 + (9!/1!*8!)*0,2^1*0,8^8 + (9!/2!*7!)*0,2^2*0,8^7 = 0,738.

Локальная теорема Лапласа. Функция j(х), ее свойства.

ТЕОРЕМА. Если в условиях схемы Бернулли число испытаний достаточно велико, а в-ть появления события А в каждом испытании фиксирована 0<p<1, то Pn(m)=(1/SQR(npq))*фи(x), где фи(х)=(1/SQR(2Пи))*е^(-(x^2/2)); x = (m-np)/SQR(npq).

Фи(х) – локальная ф-ия Лапласса.

СВОЙСТВА:

1. Обл опр ф-ии: х=(-беск;+беск)

2. Обл значений: (0; 1/SQR(2Пи)]

3. Ф-ия четная, т.е. фи(-х)=фи(х)

4. График ф-ии имеет горизонтальную асимптоту – ось ОХ,

т.к. limфи(х)(х стремится к беск.)=0

5. Гр-к имеет т. экстремума А(0;1/SQR(2Пи)) – т. максимума.

6. Имеет 2 точки перегиба В(-1; 1/SQR(2Пи*е)); С(1; 1/SQR(2Пи*е))

7. Интеграл (от –беск до +беск) фи(х)dx = 1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-я фи(х) табулирована (есть табл) в приложении №1. Для значений аргумента |x|>=4 ф-ию принято считать равной 0, т.е. фи(|x|>=4) примерно=0.

НАПР. Фи(-13,5)=фи(13,5)=0 (чет. ф-ия).

Интегральная теорема Лапласа. Функция Ф(х), ее свойства.

Пусть в условиях схемы Бернулли число испытаний велико, а в-ть события А фиксирована, тогда в-ть того, что в n испытаниях событие А произойдет от m1 до m2 раз вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2) примерно= Ф(х2) – Ф(х1), где Ф(х) – интегральная ф-ия Лапласа.

Ф(х) = (1/SQR(2Пи))*интеграл(от 0 до х) е^-(t^2/2)dt, x2=(m2-np)/SQR(npq); x1=(m1-np)/SQR(npq).

СВОЙСТВА.

1. Обл опр. х принадлежит (-бекс;+беск)

2. Обл значений (-0,5;+0,5)

3. Ф-ия Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)

4. Ф-ия монотонно возрастает на всей обл. опр.

5. Гр-к имеет 2 горизонт асимптоты у=+-0,5,

т.к. limФ(х) (х стремится к +-беск) = +-0,5.

6. Точек экстремума нет. Точка перегиба О(0;0)

ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-ия табулирована (приложение №3). Для значений аргумента |x|>=5, ф-ю принято считать равной 0,5, т.е. Ф(|x|>=5) примерно=0,5.

СЛЕДСТВИЕ 1. В-ть абсолютной величины отклонения числа появлений события А от произведения np не более, чем на Эпсилон>0 вычисляется по формуле

Pn(|m-np|)<=Эпсилон примерно=2Ф(Эпсилон/SQR(npq))

ДОК-ВО. Воспользуемся определением модуля |m-np|<=E <=> np-E<=m<=np+E.

Pn(|m-np|)<=E=Pn(np-E<=m<=np+E) примерно= Ф((np+E-np)/SQR(npq))-Ф((np-E-np)/SQR(npq))=2Ф(Эпсилон/SQR(npq)).

СЛЕДСТВИЕ 2. В-ть абсолютной величины отклонения относит частоты появления события А от его в-ти не более, чем на Е>0 вычисляется по формуле Pn=(|m/n-P|)<=E примерно= 2Ф(E*n/SQR(npq)).

ДОК-ВО. |m/n-P|<=E <=> p-E<=m/n<=p+Е <=> np-nE<=m<=np+En

Pn=(|m/n-P|)<=E = Pn(np-nE<=m<=np+En) примерно = Ф((np+nE-np)/SQR(npq))- Ф((np-nE-np)/SQR(npq))=2Ф(E*n/SQR(npq)).

Теорема Пуассона, следствия.

Если в условиях схемы Бернулли число испытаний неограниченно возрастает, а в-ть появления события А уменьшается так, что лямбда=np остается величиной постоянной, то

Pn(m) примерно= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.

СЛЕДСТВИЯ.

1) В-ть появления хотя бы одного события в испытаниях, удовлетворющих т. Пуассона вычисляется по формуле Pn(m>=1)примерно=1-e^-лямбда.

2) В-ть того, что в n испытаниях, удовлетворяющих т. Пуассона, событие А произойдет от m1 до m2 раз вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2)=СуммаPn(m) примерно= Сумма((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда).

ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-ия Пуассона табулирована и находится по заданным (m; лямбда) в прил №2.

НАПР. В магазин завезли 500 бут. В-ть того, что при перевозке бутылка окажется разбитой равна 0,002. Найти в-ть того, что магазин получит 3 разбитых бутылки.

Дано: n=500, p=0,002, q=0,998. Найти Р500(3).

РЕШ-Е. лямбда=500*0,002=1 (лямбда<10)

Pn(m)= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.

P500(3) = ((1^3)/3!)*e^-1=0,0617.

Вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности в независимых испытаниях.

СЛЕДСТВИЕ 2. В-ть абсолютной величины отклонения относит частоты появления события А от его в-ти не более, чем на Е>0 вычисляется по формуле Pn=(|m/n-P|)<=E примерно= 2Ф(E*n/SQR(npq)).

ДОК-ВО. |m/n-P|<=E <=> p-E<=m/n<=p+Е <=> np-nE<=m<=np+En

Pn=(|m/n-P|)<=E = Pn(np-nE<=m<=np+En) примерно = Ф((np+nE-np)/SQR(npq))- Ф((np-nE-np)/SQR(npq))=2Ф(E*n/SQR(npq)).

17. Вероятность отклонения числа появлений события от произведения (n´p) в независимых испытаниях.

СЛЕДСТВИЕ 1. В-ть абсолютной величины отклонения числа появлений события А от произведения np не более, чем на Эпсилон>0 вычисляется по формуле

Pn(|m-np|)<=Эпсилон примерно=2Ф(Эпсилон/SQR(npq))

ДОК-ВО. Воспользуемся определением модуля |m-np|<=E <=> np-E<=m<=np+E.

Pn(|m-np|)<=E=Pn(np-E<=m<=np+E) примерно= Ф((np+E-np)/SQR(npq))-Ф((np-E-np)/SQR(npq))=2Ф(Эпсилон/SQR(npq)).

Наивероятнейшее число появления события.

Наивероятнейшим числом появления события А называется число m0, в-ть которого в n испытаниях максимальна: np-q<=m0<=np+p.

СВОЙСТВА.

1. Если число (np-q) – дробное, то сущ-ет одно наивероятнейшее число

2. Если число (np-q) – целое, то сущ-ет 2 наивероятнейших числа m0 и m(0+1)

3. Если число np – целое, то наивероятнейшее число m0=np

НАПР. На автоматическом станке изготовлены 24 изделия. В-ть того, что изделия высшего сорта=0,6. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта.

ДАНО: n=24, p=0,6, q=0,4.

24*0,6-0,4<=m0<=2*0,6+0,6

14<=m0<=15.

Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей случайной величины, способы задания.

СВ – это величина, которая в результате испытания примет 1 и только 1 возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Это величина, которая принимает свои возможные значения в зависимости от случая.

СВ обозначаются заглавными буквами X, Y, Z, а их значения – маленькими x, y, z.

Дискретная СВ (ДСВ) – это такая СВ, множество значений которой конечно или бесконечно, но счетно. НАПР., число появлений герба при бросаниях монеты: 0, 1, 2, 3… Задача о встрече.

НЕПРЕРЫВНАЯ СВ – это такая СВ, множество значений которой бесконечно. НАПР., расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия; время безотказной работы лампы.

СВ ХАРАКТЕРИЗУЮТ:

1. её значения;

2. з-н распред-я в-тей;

3. числовые характеристики этой СВ (мат ожидание, дисперсия, СКО)

ЗАКОН распределения в-тей – это любое соответствие м/д значениями, которые принимает СВ и вероятностями, с которыми она их принимает.

СПОСОБЫ задания: - табличный; - графический; - аналитический.

1. Табличный (только для ДСВ). Xn – возможные значения ДСВ, Рn – в-ти соответствующих значений ДСВ. События Х=х1…Х=хn образуют полную группу, т.к. они несовместны и единственно возможны => Сумма Pi = 1.

2. Графический. Многоугольником распределения в-тей наз-ся ломаная линия, состоящая из отрезков, соединяющих точки с координатами Хi, Pi.

3. Аналитический: равномерный, биномиальный, геометрический, Пуассона, гипергеометрический.