Геометричне розв’язання задач нелінійного програмування.

Загальних методів розв’язання задач нелінійного програмування не існує, тому майже завжди такі задачі вимагають творчого підходу. Іноді геометричний метод дозволяє розв’язати і задачі нелінійного програмування. Деякі випадки такого типу розглянемо на прикладах.

Приклад 6. Знайти найбільше значення функції  при обмеженнях:

Розв’язання. Спочатку побудуємо графічно множину допустимих планів. Це буде множина точок чверті кола радіуса 6 з центром в початку координат, яка лежить у першому квадранті:

Знайдемо опорні прямі, які визначаються лінійною формою цільової функції. Для цього із сімейства паралельних прямих  побудуємо деяку довільну пряму, наприклад, при . Тепер легко бачити, що мінімальне значення цільова функція набуває при , а для визначення точки максимуму треба визначити координати точки , тобто координати точки дотику до кола прямої, яка паралельна прямій рівня .

Пригадаємо, що дотична до кола в точці дотику перпендикулярна до радіуса. А це означає, що радіус  буде перпендикулярним і до прямої . Кутовий коефіцієнт k₁ цієї прямої легко знайти: . Відомо, що кутові коефіцієнти двох взаємно перпендикулярних прямих задовольняють умові: , звідки , а рівняння прямої  має вид: .

Тепер координати точки  знаходимо з системи двох рівнянь:

Þ

Остаточно одержуємо: .

Відповідь:, .

Приклад 7. Знайти найбільше і найменше значення функції  при обмеженнях:

Розв’язання. Спочатку визначимо графічно множину допустимих планів. Це буде множина точок у першому квадранті, задана трикутником :

Тепер перетворимо цільову функцію до такого виду: .

Отже маємо: . Тобто,  лінійно залежить від . При цьому відповідна пряма проходить через початок координат, а її кутовий коефіцієнт залежить від : . Проаналізуємо тепер, як саме залежить від , для цього знайдемо похідну функції :

.

Оскільки ця похідна приймає тільки від’ємні значення, то це означає, що функція  спадна. Тобто, при зростанні  кутовий коефіцієнт відповідної прямої  зменшується. Отже, цільова функція  приймає мінімальне значення в точці  і досягає максимуму в точці . Знайдемо координати цих точок і відповідні значення цільової функції.

Точка : .

Точка : .

Відповідь: , .

Приклад 8. Знайти найбільше і найменше значення функції  при обмеженнях:

Розв’язання. Визначаємо графічно множину допустимих планів. Це буде множина точок у першому квадранті, яка задана трикутником :

Перетворимо тепер цільову функцію до такого виду:

.

Тобто, при  відповідна лінія рівня є коло. Рівняння цього кола має такий вид: . Центр цього кола знаходиться в точці , а радіус  залежить від : .

Тепер легко бачити, що мінімальне значення цільова функція набуває в точці : , . В точці : , . В точці : , . І нарешті в точці  цільова функція досягає максимуму: , .

Відповідь: , .

Приклад 9. Знайти найбільше і найменше значення функції  при обмеженнях:

Розв’язання. Побудуємо спочатку множину допустимих планів задачі. Це буде перетин півплощин, яки визначаються нерівностями системи обмежень задачі. Це буде многокутник .

Побудуємо лінію рівня цільової функції. Ця лінія визначається рівнянням

.

Це буде коло з центром в точці  радіуса . На цьому колі значення функції сталі і дорівнюють . При збільшенні значення  збільшується радіус кола і значення функції. Найменше значення функція приймає в точках кола найменшого можливого радіусу. Отже, найменше значення функція приймає в точці , коли радіус дорівнює нулю. Найбільше значення функція приймає в точці многокутника , найбільш віддаленої від центру кола. Це буде точка .

Отже, , , , .

Відповідь: , .