Лема 2. Канонічна форма ЗЛП завжди може бути зведена до симетричної форми ЗЛП.

Доведення. Припустимо, що невідомі  є вільними, а  – базисними, ранг матриці системи обмежень (5) дорівнює . Розв’яжемо систему рівнянь (5) відносно базисних невідомих і нехай розв’язок має вигляд

                      (9)

Всі невідомі (9) невід’ємні, тому

Враховуючи це, поставимо у відповідність (9) таку еквівалентну систему нерівностей:

                            (10)

Введемо позначення , і перепишемо (10) у вигляді

Очевидно, що остання система обмежень збігається з (3) і рівносильна системі обмежень (5) у тому розумінні, що вони мають однакові розв’язки . Спосіб переходу від канонічної форми до симетричної такий, що зворотним шляхом дістаємо вихідну задачу з базисними і вільними невідомими.

Для закінчення доведення леми нагадаємо, що коли замість базисних невідомих  підставити їхні значення (9) у форму (6) і згрупувати подібні члени, то вона набуде вигляду (4). Лему доведено.

Зауваження 3. Якщо в системі обмежень є рівності і нерівності, то звести таку задачу лінійного програмування до симетричної форми можна двома шляхами: 1) спочатку звести її до канонічної форми, а потім до симетричної; 2) виділити окремою групою рівності і звести їх до нерівностей за допомогою методу, описаному в лемі 2, підставити замість базисних невідомих знайдені значення в інші нерівності і оптимізуючу форму.

Із лем 1, 2 випливає така теорема. 

Теорема 1. Канонічна і симетрична форми еквівалентні між собою.

Зауваження 4. Симетрична форма ЗЛП, рівносильна канонічній формі ЗЛП, може мати різні вигляди. Все залежить від того, які невідомі вибрати за базисні, а які – за вільні.

Різні форми задачі лінійного програмування можуть бути приведені одна до іншої за допомогою наступних зауважень.

1. На практиці інколи зустрічаються задачі, коли на змінні накладаються обмеження знизу . Цю складність легко обійти, вводячи нові змінні . Очевидно, що . В нових змінних ми вже маємо справу з задачею типу (3), (4) чи (5), (6).

2. Форму можна оптимізувати або на максимум, або на мінімум. Очевидно, що коли в точці  функція  досягає максимуму, то  в точці  досягає мінімуму. Якщо в математичній моделі вихідною є оптимізація форми на максимум, то вводячи функцію , для неї дістанемо оптимізацію на мінімум.

3. Неравенства вида , которые могут встретиться в системе ограничений, можно привести к неравенству  умножением на (–1).

4. Равенство  можно заменить системой неравенств

5. Каждое неравенство вида

                                     (11)

добавлением неотрицательной переменной , приводится к уравнению

                            (12)

(  при этом называется балансовой или выравнивающей переменной). При этом справедлива следующая

Пример. Привести к канонической форме задачу:

при ограничениях

Решение. Третье неравенство системы ограничений умножим на (–1) (чтобы изменить знак неравенства), а затем во второе и третье неравенства введем неотрицательные балансовые переменные  и . Получим

Заменим переменные  и , которые не подчинены условию неотрицательности, разностью неотрицательных переменных , . Наконец, вместо функции  будем рассматривать функцию . Получим задачу

при ограничениях

Геометрична інтерпретація лінійних нерівностей та їх систем.

Розглянемо в загальному виді задачу лінійного програмування для функції двох змінних: