Геометричне розв’язання задач лінійного програмування у випадку, коли число змінних більше двох.

Геометричний метод розв’язування задач лінійного програмування іноді можна застосовувати і у випадку, коли число змінних більше двох. Наприклад, якщо задача задана в канонічній формі і система обмежень дозволяє виразити всі змінні через які-небудь дві з них. Тоді підставляючи ці вирази в цільову функцію, одержимо функцію двох змінних. Виключаючи виражені змінні в обмеженнях, переходимо від обмежень-рівностей до обмежень-нерівностей виду (2).

Приклад 4. Знайти найбільше значення функції  при обмеженнях:

Розв’язання. Виражаємо з обмежень задачі всі змінні через  і . Спочатку з третього рівняння системи знаходимо : . Підставивши цей вираз в перше і друге рівняння, одержимо:

Тепер з другого рівняння можна визначити : . Підставивши вираз  в перше рівняння, одержимо: , звідки . За умовою задачі змінні ,  невід’ємні, тому одержимо таку систему обмежень:

або

Нарешті, вирази для ,  підставимо в цільову функцію і одержимо:

.

Таким чином, ми одержали задачу для функції двох змінних: знайти найбільше значення функції  при таких обмеженнях:

Побудуємо тепер многокутник , обумовлений останньою системою обмежень, і пряму , задану рівнянням :

Паралельним переносом прямої  в напрямку вектора , визначимо точку A многокутника , яка відповідає найбільшому значенню z (точку “виходу”). Координати цієї точки знаходимо з умови перетину прямих ( ) і ( ):

 .

Отже, найбільше значення функції  в області, зумовленої обмеженнями задачі, досягається при ,  і воно дорівнює . Знайдемо тепер значення змінних , :

, , .

Відповідь: .

Приклад 5. Знайти мінімум цільової функції  при таких обмеженнях:

Розв’язання. Виходячи з вигляду цільової функції, можна перейти від початкової системи обмежень-рівностей до системи обмежень-нерівностей:

Тепер задачу можна розв’язати графічно. Побудуємо многокутник допустимих планів .

Легко бачити, що цільова функція досягає мінімуму в точці :

.

Відповідь: .