Постановка основної задачі математичного програмування.

Математична модель оптимізаційної задачі має такий вид: потрібно знайти значення  змінних , , ..., , які задовольняють систему рівнянь та нерівностей

                                 (4)

і надають даній функції  найменше (або найбільше) значення.

Сформульована задача називається загальною задачею математичного програмування. Функція  називається цільовою функцією. Умови (4) називаються обмеженнями. Кожен набір  змінних , що задовольняють обмеженням (1), називається допустимим розв’язком. Допустимий розв’язок, мінімізуючий (або максимізуючий) цільову функцію , називається оптимальним. Коротко дану задачу можна сформулювати у вигляді:

Знайти  ( ) при обмеженнях (4).

Існує ще одне означення екстремальних задач. Ось воно:

екстремальними будемо називати задачі, які можна сформулювати так: дані множина  і числова функція , визначена на . Потрібно знайти таку точку , щоб для будь-якого

                                      (5)

– задача максимізації (задача на  max), або

                                      (5′)

– задача мінімізації (задача на min).

Інколи, наприклад, коли в множині  немає точок , що задовольняють умову (5) або умову (5'), має смисл розглядати наступну задачу: вказати таку послідовність точок  з , що

(або ). Задачі такого виду також будемо називати екстремальними.

Екстремальна задача сформульована, якщо задані

1) множина ,

2) функція ,

3) вказано, являється задача задачею максимізації чи задачею мінімізації.

Класифікація задач математичного програмування.

Існують досить прості математичні методи для розв’язання таких задач. Однак, перш ніж обрати метод для розв’язку задачі необхідно визначити, до якого класу вона відноситься. Умовно задачі математичного програмування можна розбити на такі:

1) Задачі лінійного і нелінійного програмування (в залежності від виду обмежень та цільової функції математичної моделі задачі).

В задачах лінійного програмування максимізується або мінімізується лінійна функція при наявності деяких обмежень, які виражаються у вигляді лінійних рівнянь або лінійних нерівностей.

В задачах нелінійного програмування нелінійною є цільова функція або в системі обмежень не лінійні рівняння або нерівності. Одним з окремих видів являється квадратичне програмування (квадратична функція).

2) Задачі динамічного програмування.

Задачі динамічного програмування є багатоетапними або багатокроковими. Знаходження розв’язку конкретних задач методами динамічного програмування включає декілька етапів, або кроків, на кожному з яких визначається розв’язок деякої часткової задачі, обумовленою вихідною.

3) Задачі детермінованого і стохастичного програмування (в залежності від характеру вихідних параметрів моделі).

В задачах детермінованого програмування вважаємо, що перехід від одного стану процесу до іншого цілковито залежить від обраного нами управління.

В задачах стохастичного програмування наступний стан процесу залежить не лише від вибраного нами управління, а ще й від деяких випадкових умов.