Уравнение Шрёдингера. Принцип причинности. Стационарные состояния.

Уравнение Шрёдингера связано с гипотезой де Бройля. Согласно гипотезе де Бройля свободной частице с энергией Е и импульсом р, движущейся вдоль оси х, соответствует плоская волна

                                                   (1)

Продифференцируем (1) по времени:

                                                                           (2)

Продифференцируем (1) дважды по координате х:  и учтем, что свободная частица обладает энергией , тогда с учетом (2):

                    (3)

В общем случае свободного движения частицы в пространстве:

, уравнение (3) будет иметь вид:

            или , (4)

где . Далее Шрёдингер предположил, что если частица движется в потенциальном поле , то уравнение (4) должно быть видоизменено следующим образом:

           (5)

Уравнение (5) можно назвать уравнением движения квантовой частицы, оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. В квантовой механике уравнение Шрёдингера играет такую же роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции Y в любой момент времени t.

Для нахождения единственного значения функции Y кроме уравнения (5) необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют значение волновой функции при t =0. Кроме этого, волновая функция должна удовлетворять условию нормировки .

В квантовой механике поведение микрочастиц определяется закономерностями статистического типа и принцип причинности для микрочастиц формулируется следующим образом.

Пусть известно состояние частицы в начальный момент времени t =0, то есть известно значение функции состояния . Тогда решая уравнение Шрёдингера (5) можно однозначно определить её волновую функцию в последующие моменты времени .

Из смысла волновой функции вытекает, что можно предсказать вероятности того, что характеризующие частицу физические величины будут иметь то или иное значение в любой момент времени t >0. Сформулированный таким образом принцип причинности в квантовой механике имеет более общий характер, чем лапласовский детерминизм в классической механике.

Если отсутствуют переменные внешние поля, действующие на частицу, т.е. , то U имеет смысл потенциальной энергии и гамильтониан совпадает с оператором полной энергии. В этом случае волновую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, другая – только от времени:

                                                            (6)

Подставив (6) в (5), получим , разделим это уравнение на fy:

                                                          (7)

Левая часть уравнения (7) зависит только от времени, правая – только от координат. Это возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны одной и той же постоянной величине.

                                             ,                                             (8)

        или         (9)

(9) называют стационарным уравнением Шрёдингера. Решение уравнения (8) имеет вид:

                                     .                                    (10)

Тогда общее решение уравнения (5) в соответствии с представлением (6) будет иметь вид:

                   .                  (11)

Отсюда следует, что плотность вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства равна , т. е. не зависит от времени. Поэтому состояния, которые описываются функциями вида (11) называются стационарными состояниями.