Электроны в металлах как вырожденный Ферми-газ. Ферми-газ в астрофизических объектах: белые карлики и нейтронные звезды.

В металлах электроны ведут себя как свободные частицы идеального газа. Энергия этих электронов принимается равной

                                                                                         (1)

Электроны подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака, в которой функция распределения

                                                                                      (2)

определяет среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией e.

Вычислим среднее число электронов dN(Е), имеющих энергию в интервале [Е, Е+dЕ]. Учтем, что в фазовом пространстве число элементарных ячеек, определяющих число квантовых состояний электронов с импульсами от p до p+dp равно

.                                      (3)

где множитель 2=g=2s+1=2×1/2 +1 учитывает наличие спина электронов.

Тогда число электронов dN, находящихся в состояниях dZ, равно произведению числа состояний на вероятность нахождения электронов в этих состояниях:

                                         .                                          (4)

Заменим в (4) импульс на энергию, используя (1):

                                .                                (5)

Тогда концентрация электронов в состояниях с энергиями [E, E+dE] будет равна

                  ,                   (6)

где – функция плотности состояний ( ). При Т→0 и 0< E< m функция f»1. В этом случае

                                                         (7)

Отсюда выразим . Оценки показывают, что при концентрации электронов n ~ 10²³ см^–3 m»5 эВ. Этому значению энергии соответствует температура . Т.е. энергия Ферми во много раз превышает температуру, при которой существует твердое тело. Другими словами, электронный газ при комнатных температурах сильно вырожден. По этой причине электронный газ при комнатных температурах не вносит никакого вклада в теплоемкость металла. При этом все нижние состояния зоны проводимости вплоть до m заняты электронами, а все более высокие – свободны. Между ними будет находиться область шириной 2kT, в которой состояния будут частично заполнены. В физике металлов важнейшую роль будут играть именно эти электроны, энергия которых близка к m. Эти электроны располагаются вблизи поверхности Ферми Е = m. Оценим долю этих электронов как отношение приповерхностного объема к полному:

                                                      ,                                       (8)

где dp_m – область размытия поверхности Ферми. Используем для оценки (1), полагая E =m и dm=2kT, тогда

                                                                     (9)

При комнатных температурах Т~ 300 К эта величина принимает значение ~0,01~1%. То есть при комнатных температурах доля таких электронов мала и основной вклад в теплоемкость вносит кристаллическая решетка, а электроны практически не влияют на теплоемкость. Но при понижении температуры до Т→0, теплоемкость решетки резко падает и данные электроны начинают влиять на теплоемкость. При этом вклад электронной теплоемкости пропорционален температуре. Покажем это. Теплоемкость, приходящаяся на один электрон равна 3k/2. Доля таких электронов 3kT/m, их концентрация – n, тогда электронная теплоемкость

                                      , т.е с_эл~Т.

Электронный газ в вырожденном состоянии находится в белых карликах. Белые карлики образуются из красных гигантов, когда их плотные ядра в результате термоядерных реакций сбрасывают оболочку и начинают сжиматься. Массы белых карликов порядка солнечной, а размеры порядка Земли. Они характеризуются очень большими плотностями (10⁹–10¹⁰ кг/м³) и высокими температурами. Кроме того, высокая концентрация электронов в вырожденном состоянии создает очень высокое давление внутри звезды. Белый карлик существует за счет равновесия между давлением электронного газа и гравитационным давлением. Из-за вырождения электронного газа вещество недр белых карликов отличается высокой прозрачностью и теплопроводностью. Вследствие этого в недрах белого карлика не могут возникать большие перепады температур. Перепад температур происходит в тонком приповерхностном слое, где электронный газ не вырожден. Толщина этого слоя около 1% радиуса карлика. На границе поверхности этого слоя температура около нескольких тысяч кельвинов, при движении к центру возрастает до десятков миллионов и затем вплоть до центра почти не меняется.

При высоких плотностях звезды начинается процесс поглощения ядрами электронов с образованием нейтронов (происходит К-захват). Вследствие этого уменьшается количество электронов и соответственно давление электронного газа, поддерживающего звезду в равновесии. Это приводит к дальнейшему гравитационному сжатию звезды и более интенсивному К-захвату. В конце концов звезда преимущественно будет состоять из нейтронов. Плотность такой звезды порядка ядерной плотности, радиус звезды порядка 10 км. Такие звезды называются нейтронными. Существование таких звезд было предсказано еще в 1938 году Р. Оппенгеймером. Нейтронные звезды были открыты в 1967 году, когда с помощью радиотелескопа обнаружили источник, посылающий строго периодические радиоимпульсы. Такие источники были названы пульсарами. Периоды излучения радиоволн пульсаров от 0,001 до 3 с. Мощность излучения может в десятки тысяч раз превышать мощность излучения Солнца. Пульсары были отождествлены с нейтронными звездами. Магнитные поля нейтронных звезд обладают очень высокими напряженностями и направление магнитного поля, как правило, не совпадает с осью вращения звезды, вследствие этого магнитный момент пульсара вращается и, следовательно, изменяется во времени. Изменяющийся магнитный момент излучает электромагнитные волны, при этом излучение сосредоточено в пределах узкого конуса. Когда Земля попадает в пределы этого конуса, обнаруживается всплеск радиоизлучения. Размеры звезды очень маленькие, поэтому конус звезды вращается очень быстро, этим и объясняются малые периоды излучения пульсаров.