Коммутаторы операторов. Условие совместной измеримости наблюдаемых. Полный набор наблюдаемых.

Опр. Коммутатором двух операторов  и   называется оператор .

Произведение операторов  и  ,вообще говоря, не коммутативно, т.е. .

Опр. Операторы, для которых выполняется условие  называются коммутирующими.

Пример 1. Вычислим . Для этого рассмотрим действие коммутатора на произвольную функцию Y. , т.е. =0, эти операторы коммутируют между собой.

Пример 2. Вычислим .

,т.е. , операторы не коммутируют между собой.

Пусть некоторое состояние квантовой системы описывается волновой функцией Y. Произведем в этом квантовом состояние измерение двух физических величин А и В. Этим величинам соответствуют операторы . Физические величины могут быль одновременно измерены, если функция Y является собственной функцией обоих операторов, т. е. выполняются условия:

                                                                                           (1)

                                                                                           (2)

Подействуем на обе части равенства (1) оператором , а на (2) – оператором :

                                    ,                                     (3)

                                    .                                     (4)

Из (3) и (4) следует, что . Т.е. если две физические величины одновременно измеримы, то их операторы коммутируют. Верно и обратное утверждение: если два оператора  коммутируют, то физические величины А и В одновременно измеримы. Как видно из примеров 1 и 2, координата у и компонента импульса р_х могут быть одновременно точно измеримы, а координата х и компонента импульса р_х одновременно точно не могут быть измерены.

Свойство коммутативности не является транзитивным. Если  коммутирует с  и , то это не значит, что  и  коммутируют между собой.

В квантовой механике используется понятие полного набора физических величин, которые для данной системы могут иметь одновременно определенные значения. Например, для свободно движущейся частицы – это импульс и энергия. Очевидно, что полный набор не может включать в себя импульсы и координаты частиц, так как они одновременно не имеют определенного значения. Для задания состояния квантовой системы достаточно задать только координаты частицы или только импульсы, или вообще любую совокупность величин, которые одновременно измеряются. Число таких величин должно быть равно числу степеней свободы системы.

Задание полного набора однозначно определяет волновую функцию системы. Полные наборы для разных состояний различны. В частном случае полный набор может состоять только из одной переменной. В таком состоянии все переменные, кроме одной, образующей полный набор, будут неопределенными. В качестве полного набора, однозначно определяющего волновую функцию системы, используют также квантовые числа, которые сохраняются в процессе движения. Например, состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами, соответствующим четырем степеням свободы электрона. Эти 4 степени свободы связаны с тремя пространственными координатами и спином. Для водородоподобных атомов 4 квантовых числа, образующих полный набор: n – главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m – магнитное квантовое число, s_z – спиновое.