Принцип тождественности частиц. Симметричные и антисимметричные волновые функции. Бозоны и фермионы, принцип Паули.

Будем называть одинаковыми частицы, имеющие одинаковые массы, заряды, спины и т.д. Такие частицы в равных условиях ведут себя одинаковым образом, теряют свою индивидуальность. Поэтому выполняется принцип тождественности частиц: состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте и такие состояния следует рассматривать как одно и то же физическое состояние.

Рассмотрим систему из N невзаимодействующих частиц, обладающих спином. Волновая функция такой системы имеет вид . Введем обозначения: , тогда в новых обозначениях волновая функция примет вид: . Введем оператор  перестановки двух частиц местами. Переставим, например, первую и вторую частицы:

                            .                 (1)

С другой стороны, по определению оператора:

                           .               (2)

Подействуем на оператором  дважды, тогда с учетом (1) получим                      ,     (3)

с учетом (2), получим:

                                         (4)

Как следует из (3) и (4), должно выполняться равенство:

Опр. Функции, сохраняющие свое значение при перестановке аргументов, называются симметричными: . Функции, изменяющие знак при перестановке аргументов, называются антисимметричными: .

В релятивистской квантовой механике доказывается, что частицы с целым спином должны иметь симметричные волновые функции, а частицы с полуцелым спином – антисимметричные. Электроны имеют полуцелый спин, поэтому описываются антисимметричными волновыми функциями.

Частицы с целым спином называются бозонами, с полуцелым – фермионами. Примером бозона является фотон, примерами фермионов – электроны, протоны, нейтроны.

Рассмотрим систему из двух невзаимодействующих тождественных фермионов. Каждый из них описывается своей волновой функцией  и . Построим из этих функций волновую функцию двух фермионов . Величина   определяет вероятность совместного состояния двух фермионов, а величины  и  – вероятности для состояний для отдельных фермионов. Теорема об умножении вероятностей независимых событий будет выполняться, если двухчастичную волновую функцию записать в виде:

                                  .                       (5)

В силу тождественности фермионов эту функцию можно записать и в виде:

                                  .                       (6)

Так как волновая функция двух фермионов должна быть антисимметричной и следует учесть два варианта представления (5) и (6), то запишем двухчастичную функцию в виде:

                      ,          (7)

где С – нормировочный множитель. Функцию (7) можно записать в виде определителя:     .                                                                    (8)

По аналогии с (8) можно записать волновую функцию для N невзаимодействующих фермионов:

                .     (9)

Рассмотрим случай, когда два фермиона находятся в одинаковых состояниях. Это означает, что среди набора волновых функций две будут одинаковые, например  и . Тогда в определителе (9) два столбца будут совпадать и определитель будет равен нулю. Т.е. такое состояние системы невозможно. Отсюда следует принцип Паули: два тождественных фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Если рассмотреть систему из двух невзаимодействующих бозонов, то двухчастичная волновая функция бозонов запишется в виде:

                     .         (10)

По аналогии с (10) волновая функция N невзаимодействующих бозонов будет иметь вид:

                     ,        (11)

где суммирование производится по всем перестановкам индексов i1i2….