Уравнения Максвелла для системы зарядов в вакууме, их физический смысл.

Система уравнений Максвелла – основа электродинамики и является обобщением экспериментальных данных. Уравнения Максвелла записывают в интегральной и дифференциальной форме.

Дифференциальная форма                           Интегральная форма

где – напряженность электрического поля, – вектор индукции магнитного поля, – плотность токов проводимости, – плотность токов смещения, r– плотность зарядов. В уравнения входят константы m₀ =4p×10^–7В×с/(А×м) – магнитная постоянная, e₀= 8,85×10^–12 Ф/×м – электрическая постоянная.

Уравнения (1) – (4) устанавливают связь между векторами электромагнитного поля, плотностью зарядов и плотностью токов в любой точке пространства в любой момент времени.

Дифференциальная форма уравнений позволяет рассчитать электромагнитное поле по распределению зарядов и токов в пространстве. Но это достаточно сложная задача с точки зрения математики, поэтому часто при решении конкретных задач используют интегральную форму. Кроме того, интегральная форма нагляднее физически.

Для примера рассмотрим дифференциальное уравнение (4). Выделим в пространстве некоторый объем  V, ограниченный поверхностью S. Пусть внутри объема находятся заряды, распределенные с плотностью r. Проинтегрируем данное уравнение по объему V:

                                                                 (5)

Применим к левой части (5) теорему Остроградского:

                                                                    (6)

Интеграл  определяет поток вектора напряженности через поверхность S, окружающую заряд  Соотношение (6) называют теоремой Гаусса.

Для наглядности поле вектора  изображают с помощью силовых линий. Число линий, пересекающих поверхность, перпендикулярную к ним, равно потоку П вектора напряженности .

Физический смысл уравнений (4). Источниками электрического поля являются электрические заряды. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность S определяется суммарным электрическим зарядом, находящимся внутри данной поверхности. С уравнениями (4) связан закон Кулона.

Уравнения (1) связаны с законом Фарадея для электромагнитной индукции. Физический смысл уравнений: вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. Величина  определяет э.д.с индукции, а  – поток вектора магнитной индукции через поверхность S. Э.д.с. индукции, возникающая в замкнутом проводнике L, определяется изменяющимся магнитны потоком, пронизывающим контур проводника.

Уравнения (2) показывают, что отсутствуют магнитные заряды и силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Сколько силовых линий выходит из объема V, столько и заходит в этот объем. Можно также сказать, что силовые линии магнитного поля либо замкнуты, либо приходят из бесконечности и уходят на бесконечность.

В уравнениях (3) ,  – плотности токов проводимости и токов смещения, а  и  – токи проводимости и токи смещения, +  – полный ток. Физический смысл уравнений (3): вихревое магнитное поле порождается полным током.

Уравнения Максвелла (1)-(4) применимы для исследования потоков элементарных частиц или ионов в пустоте (например, плазма, ионные пучки). В ряде случаев, когда окружающие тела не влияют на электромагнитное поле, данные уравнения применяют и для расчета полей в веществе. Например, поле малых заряженных тел в воздухе рассчитывается как поле точечных зарядов в вакууме, магнитное поле линейного проводника с током – как поле тока в вакууме.

Из уравнений Максвелла выводится ряд фундаментальных законов и следствий, подтверждаемых экспериментом, например, закон сохранения заряда, закон сохранения энергии и импульса электромагнитного поля и т.д.

Покажем, как закон сохранения заряда получается из уравнений Максвелла.

Вычислим дивергенцию от обеих частей уравнения (3), при этом используем свойство цикличности перестановок в смешанном произведении: , тогда  или

                                                               (7)

Подставив в (7) (4), получим закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

                                                                                                    (8).