Интервал между событиями. Пространство Минковского. 4-векторы. 4-скорость, 4-импульс. Закон сохранения энергии-импульса.

Любое событие определяется местом (совокупностью координат x, y, z) и моментом времени, когда оно произошло. Пусть в инерциальной системе отсчета К произошли два события А(x,y,z,t) B(x+dx,y+dy,z+dz,t+dt). Интервалом между событиями называется величина, квадрат которой в системе К равен:

                            .                            (1)

В системе К^/ квадрат интервала между этими же событиями:

                        .                         (2)

Покажем, что . Т.к. dy=dy ^/, dz=dz^/, то надо доказать

                              .                              (3)

Используя обратные преобразования Лоренца:

                                              (4)

получим соотношение (3). Итак, при переходе от системы К к системе К^/ квадрат интервала является инвариантом.

В СТО трехмерное пространство и время объединяются в одно четырехмерное пространство, которое называют пространством Минковского. События в пространстве Минковского называют мировыми точками, а линии в этом пространстве – мировыми линиями. Участки мировых линий, вдоль которых ds² >0 называются времениподобными, при ds² = 0 светоподобными, при ds² <0 – пространственноподобными.

Опр. Собственным временем частицы называется время, измеренное по часам, связанным с движущейся частицей.

Пусть в системе К скорость частицы . В этой системе приращения координат и времени обозначим dx, dy, dz, dt. Пусть в системе К^/ эта частица покоится, тогда для нее приращение координат и времени будут: =0, dt. Запишем инвариантное значение квадрата интервала:

,

                                                                                 (5)

В четырехмерном пространстве определим координаты события

 – 4 радиус-вектор, приращение 4 радиус-вектора: . Более компактная запись: , .

4-скорость определим следующим образом: . В СТО масса покоя частицы m₀ является инвариантной величиной. По аналогии с классической механикой определим 4-импульс как

. Сокращенная запись: , где , – релятивистский трехмерный импульс. Вычислим выражение .

Т.е.                            является инвариантом.                  (6)

В СТО энергия тела определяется как величина, равная

                                          .                                           (7)

Каждое тело в состоянии покоя (v=0) обладает энергией . Отметим, что это очень большая энергия. Например, тело массой 1 кг обладает энергией покоя Е₀ =1 кг×(3×10⁸ м/с)² =9×10¹⁶ Дж.

Учитывая соотношение (7) и выражение для Р₀, выражение для 4-импульса запишем в виде: . С учетом этой записи инвариант (6) будет иметь вид: или     .                            (8)

(8) является главной прикладной формулой СТО, она заменяет ньютоновскую формулу, связывающую кинетическую энергию с импульсом: E_кин = /(2m). Из формулы Эйнштейна следует, что при  = 0 E₀ = m₀c². Смысл этой знаменитой формулы в том, что массивная частица обладает определенной энергией покоя Е₀, однозначно связанной с массой этой частицы. Эйнштейн постулировал, что эта энергия вполне реальна и при изменении массы частицы может переходить в другие виды энергии и это является основой ядерных реакций. Соотношение Эйнштейна выражает всеобщий закон эквивалентности и взаимопревращения массы и энергии.