Функция Лагранжа одномерного движения. Общее решение задачи о движении в постоянном потенциале. Период финитного движения. Математический маятник.

Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид функции Лагранжа для такого движения в постоянных внешних условиях:

                                    ,                                     (1)

где m(q) – некоторая функция обобщенной координаты q. В частности, если q – декартова координата х, то  .                                                                    (2)

Закон движения такой системы может быть найден в общем виде когда потенциальная энергия не зависит от времени. В этом случае  и сохраняется энергия системы:

                                                       .                                        (3)

Из данного уравнения получим: , откуда

                                                   .                                    (4)

Решая уравнение (4) находят связь между х и t, т.е. находят уравнение движения x(t). Так как кинетическая энергия положительная величина, то полная энергия всегда больше потенциальной. Т.е. движение возможно только в том случае, когда E> U(x). Пусть график потенциальной энергии имеет вид, изображенный на рисунке.

Проведем на графике прямую, соответствующую заданному значению полной энергии. Условию E> U(x) отвечает движение в области АВ или в области справа от С. Точки, в которых  E = U(x) определяют границы движения и называются точками остановки. Движение в области, ограниченной двумя точками, называется финитным. Если область движения не ограничена или ограничена с одной стороны, то такое движение называется инфинитным. На рисунке АВ – область финитного движения, область справа от точки С – инфинитного.

Одномерное финитное движение является колебанием. На рисунке тело движется в потенциальной яме АВ между точками х₁и х₂. Период колебания равен удвоенному времени прохождения отрезка [x₁, x₂]. Как следует из (4):

                                 .                                  (5)

Если использовать запись функции Лагранжа в виде (1), то формула для периода колебания примет наиболее общий  вид:

                                                                              (6)

Рассмотрим в качестве примера движение математического маятника. Тело массы m, соединенное жестким невесомым стержнем длины l с неподвижной точкой подвеса движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Обобщенной координатой маятника выберем угол j между вертикалью и стержнем. Тогда декартовы координаты связаны с j следующим образом: , . Отсюда , . Функция Лагранжа математического маятника имеет вид: . Сравнивая данное соотношение с формулой (1), получим, что m(q)= ml². Тогда период колебания математического маятника в соответствии с формулой (6):                 (7)

Углы j₁ и j₂ находят из условия E=U. Если полная энергия Е будет больше mglcosj, то уравнение E=U не будет иметь решений и движение маятника будет представлять собой вращение.