Лагранжев формализм. Функция Лагранжа, уравнения Лагранжа, обобщенные импульс, сила, энергия. Принцип наименьшего действия.

ЕЛАБУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУ ВПО ЕГПУ)

Основы теоретической физики

Конспект обзорных лекций

Елабуга

2008

УДК 530.1

ББК 22.31

Х – 30

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елабужского государственного педагогического университета (протокол № 22 от 24 января 2008 г.)

Рецензенты:

Ф.М. САБИРОВА, к. ф.-м. н, доцент кафедры общей физики ЕГПУ

А.В. Костин, к. ф.-м. н, заведующий кафедрой общенаучных дисциплин КГТУ им. А.Н. Туполева

Основы теоретической физики.Конспект обзорных лекций./Автор-сост. И.И. Хвалченко. – Елабуга: ЕГПУ, 2008. – 72 с.

Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогического университета.

Елабужский государственный педагогический университет Ó

Введение

В предлагаемом пособии рассмотрены избранные вопросы курса "Основы теоретической физики", изучаемого на физико-математических факультетах педагогических вузов. По каждому вопросу даны определения основных понятий, изложены физические законы и применяемый математический аппарат. Рассмотрено приложение математического аппарата к решению задач теоретического и практического назначения.

Предлагаемое пособие составлено в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования и может быть использовано как справочное руководство при подготовке к государственному экзамену по физике.

Лагранжев формализм. Функция Лагранжа, уравнения Лагранжа, обобщенные импульс, сила, энергия. Принцип наименьшего действия.

Для задания положения материальной точки в любой момент времени используется радиус вектор . Определение зависимости  для каждой материальной точки системы составляет основную задачу механики. В классической механике уравнениями движения, определяющими , являются уравнения Ньютона

                                            .                                             (1)

Таким образом, основная задача механики сводится к двукратному интегрированию уравнения (1). Но непосредственное интегрирование (1) не всегда является удобным способом решения. Это связано с тем, что если система состоит из N тел, то (1) будет представлять собой систему из 3N дифференциальных уравнений. Если, кроме этого, система  обладает определенной симметрией, то лучше использовать вместо  декартовой системы координат другую, соответствующую симметрии данной системы. Поэтому в ряде задач механики используется лагранжев формализм, при котором механической системе сопоставляется функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени: , которую называют функцией Лагранжа. Обобщенными координатами q_k называют любые величины, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Обобщенными скоростями  называют производные обобщенных координат по времени. Записав для системы функцию Лагранжа, можно решить основную задачи механики с помощью уравнений Лагранжа, которые заменяют уравнения Ньютона. Использование уравнений Лагранжа удобно тем, что количество этих уравнений равно числу степеней свободы системы. В случае, когда на систему наложены связи, число этих уравнений будет меньше 3N. Под связями понимают любые ограничения, наложенные на систему. На практике очень важен и часто встречается случай, когда связь может быть описана с помощью уравнения, связывающего координаты точек системы: . Такая связь называется голономной, примером голономной связи может служить жесткий невесомый стержень, связывающий две частицы.

Покажем, как от уравнений Ньютона можно перейти к лагранжеву формализму. Рассмотрим систему, состоящую из  N взаимодействующих частиц с массами m⁽¹⁾, m⁽²⁾,…:

Введем следующие обозначения: m₁ = m₂ =m₃ =m⁽¹⁾– масса 1-ой частицы, m₄ = m₅ =m₆ =m⁽²⁾ масса 2-ой частицы, ..., х₁– координата х 1-ой частицы, х₂– координата у 1-ой частицы, х₃– координата z 1-ой частицы, x₄, x₅, x₆ – координаты x, y, z 2-ой частицы, …, F₁, F₂, F₃ – проекции на оси x,y,z силы, действующей на 1-ю частицу, F₄, F₅, F₆ – проекции на оси x,y,z силы, действующей на 2-ю частицу и т.д.

Если на частицы действуют потенциальные силы, то они могут быть выражены следующим образом:

                                            ,                                             (2)

где – функция координат и времени, называемая потенциалом. Если в функцию U время явно не входит, то она называется потенциальной энергией системы.

Пусть часть сил, действующих на систему частиц потенциальна, а часть – не потенциальна, тогда уравнения движения частиц системы:

                                                      (3)

– компоненты непотенциальных сил. Число n уравнений, входящих в (3), равно утроенному числу частиц системы ( ).  

Определим для данной системы функцию Лагранжа как разность кинетической и потенциальной энергии:

                                         .                          (4)

Продифференцировав по времени частную производную от L по , получим левую часть уравнения (3):

                                                .

Продифференцировав L по х_k, получим k-ю компоненту потенциальной силы:

                                                    .

Таким образом, мы приходим к уравнениям:

                                          ,                            (5)

которые называются уравнения Лагранжа. Для систем, в которых действуют только потенциальные силы, уравнения Лагранжа имеют вид:

                                                      .                                       (6)

Мы получили уравнения Лагранжа (6) в декартовых координатах для системы частиц без связей. Если на систему частиц наложены связи, ограничивающие движение, то удобно ввести обобщенные координаты q_k и обобщенные скорости . При этом число обобщенных координат будет равно числу степеней свободы s<3N. Функция Лагранжа запишется в виде .  В обобщенных координатах уравнения Лагранжа запишутся аналогично (6):

                                                                                              (7)  

Функция Лагранжа  может быть использована для характеристики не только систем с конечным числом степеней свободы, но и систем с бесконечным числом степеней свободы – сплошных сред, электромагнитных и других физических полей.

Из выражения для функции Лагранжа (4) следует, что производная – проекция импульса соответствующей частицы на одну из координатных осей, а – проекция потенциальной силы, действующая на частицу. Аналогично при использовании обобщенных координат величину

                                                                                           (8)

называют обобщенным импульсом, а величину

                                                                                                           (9)

- обобщенной силой.

 Через функцию Лагранжа выражается также полная энергия системы.

                                                                                           (10)

(10) является самым общим выражением энергии системы и остается пригодным даже в том случае, когда полная энергия не может быть представлена в виде суммы кинетической и потенциальной энергией.

В основу механики вместо законов Ньютона можно положить принцип наименьшего действия или принцип Гамильтона. Действием S за промежуток времени [t₁, t₂] называется интеграл

                                                                          (12)

Положение системы характеризуется координатами q_k(t). Согласно принципу наименьшего действия система на временном интервале [t₁, t₂] всегда движется так, что ее действие S принимает наименьшее возможное значение. Размерность действия равна Дж×с. Такую же размерность имеет постоянная Планка, которую называют также квантом действия. Принцип Гамильтона представляет собой наиболее общую формулировку закона движения механических систем. Он может быть применен не только к механическим системам, но и к упругим средам, электромагнитным полям и т.п.