Анализ замкнутой системы управления

Структурная схема замкнутой системы управления приведена на рис.4.9 .

Рис.4.9. Структурная схема системы управления

     На рис. 4.10. рассогласование приведено для точки Н_5,4,4,4, а изменение напора для добывающей скважины (точки Н_4.4.4.4). Результаты моделирования  показывают, что синтезированный регулятор достаточно эффективно управляет рассматриваемым гидродинамическим процессом и может быть рекомендован к реализации в реальных системах.

Рис.4.10. График переходного процесса

       Как известно, одно из требований к системам управления гидролитосферными процессами, формулируется в виде минимизации перерегулирования в переходном процессе. Это требование может быть выполнено, путем коррекции коэффициента усиления Е₁ (например Е₁= 4301.3528/5) в рассматриваемой системе управления. Графики переходного процесса в скорректированной системе управления приведены на рис 4.11 . (рассогласование приведено для точки Н_5,4,4,4, а изменение напора для добывающей скважины (точки Н_4.4.4.4)).

Рис.4.11. График переходного процесса при коррекции коэффициента усиления

                                                                                                              4.3.4.  Синтез распределенных регуляторов для систем управления    

параметрами верхнего и среднего гидролитосферных пластов

Расположение добывающих и контрольных скважин приведено на рис.4.12.

    Поскольку в Кисловодском месторождении осуществляют добычу трех видов нарзанов (см. рис. 4.12) сульфатного, доломитного и общего, рассмотрим проектирование систем управления параметрами добывающих скважин общего и доломитного нарзана (проектирование системы управления параметрами добывающих скважин сульфатный нарзан приведено выше).

Рис. 4.12. Схема расположения добывающих и контрольных скважин

Математическая модель гидролитосферных процессов записывается в виде

Грунтовые воды

Верхний пласт

Средний пласт

Нижний пласт

,

,

 где: h₁ – напор в горизонте грунтовых вод;

 Н_i – напор в изучаемом i- м водоносном горизонте (i=2..4);

V_i(y_i,j,τ) –понижение напора i-го пласта, вызванное воздействием j-ой добывающей скважиной ( в рассматриваемом случае j=1..4, а входное воздействие рассматривается в трех пластах  i=1..3);

δ_i(x_0,j, y_0,j, z_0,j)- функция, равная единице, если x=x_0,j, y=y_0,j, z=z_0,j,  для i-го пласта и равная нулю в других случаях ( i=2..4);  

- коэффициенты фильтрации по пространственным координатам в горизонте грунтовых вод (i=1) и  i-го пласта (i=2..4);

– упругоемкость i-го пласта (i=2..4);

F_i,x-скорость течения вi- м водоносном горизонте(i=2..4);

x,y,z- пространственные координаты;

τ-время.

Граничные условия между пластами задаются в виде

(условия Дарси)

Грунтовые воды- верхний пласт

,

.

Верхний пласт - средний пласт

,

.

Средний пласт - нижний пласт

,

.

Нижняя граница нижнего пласта

.

b_i–параметры перетекания i-го пласта (i=1..3).

Нижняя граница нижнего пласта

.

Боковые грани.

,

.

При формировании граничных условий по координате y, полагаем, что мощность пластов такова, что возмущения от заборных скважин не влияют на состояние пласта в граничных точках

,(i=2..4),

где: h_1,0, Н_2,0, Н_3,0, Н_4,0 - начальные состояния невозмущенных грунтовых вод и пластов.

Поскольку приведенная математическая модель объекта управления не имеет аналитического решения, то для оценки динамики объекта составим

 дискретную модель объекта управления.

Как и для случая, рассмотренного выше, была составлена дискретная модель объекта управления, используя которую была составлена вычислительная программа для анализа динамических характеристик объекта управления.

   Входным воздействием на объект управления служит функция U_i,j(τ) , которая связана с функцией V_i(y_i,j,τ) –понижение напораi-го пласта, вызванное воздействием j-ой добывающей скважиной (в рассматриваемом случае j=1..4, i=1..2) следующим соотношением

V_i(y_j,τ) =0.001∙U_i,j.

Методика проведения экспериментальных исследований (определения реакции системы на заданную пространственную моду входного воздействия ) описана выше. В установившемся режиме, скачком подаем входное воздействие на объект управления в виде выбранной пространственной моды.  В рассматриваемом случае входное воздействие реализуется с помощью 4-х добывающих скважин. Полагая, что воздействие от первой и последней добывающих скважин, на расстоянии 2∙Δy, при скачкообразном понижении напора, равно нулю, то входное воздействие может быть записано в виде 

U_i,j= A_i sin(ψ_ξ∙y_j), ψ_ξ=π∙ξ/(8-1), y=(j-1)∙Δy,  G_ξ=( π∙ ξ /((8-1)∙ Δy))²,

где: ξ - номер моды;  

 j- точки расположения добывающих скважин реализующих  i-тое входное воздействие ;

 Δy- шаг дискретизации по оси y;

G_ξ-значения обобщенной координаты [1,2] .

Рис.4.13. 1-й пласт, 1-я мода

Рис. 4.14. 1-й пласт, 3-я мода

Рис.4.15. 2-й пласт, 1-я мода

Рис.4.16. 2-й пласт, 3-я мода

Аппроксимируем передаточную функцию по выбранным пространственным модам передаточной функцией вида

,( υ=1,2 ),     (4.5)

где υ – номер пласта.

 В результате численного моделирования получены следующие значения параметров передаточной функции, при условии, что входное воздействие U_i,j  связано с функцией понижения напора следующим соотношением V_i,j (y_j,τ) =0.001∙ U_i,j, (в рассматриваемом случае j=1..4, i=1..3):

Для первого пласта (см. рис. 4.13, 4.14) получим:

первая мода

η=1, G₁=(π∙1/350)²=8.057∙ 10^-5 , К₁(G₁)= 110/(1∙(sin(π∙3/7))=112.8 ,

T₁(G₁)=(5.125-0.21)∙24=117.96час.,τз(G₁)= 5.04час.;

третья  мода

η=3 , G₃= 7.25∙ 10^-4 , К₁(G₃)= 74/(1∙(sin(π∙3∙3/7))=94.6 ,

T₁(G₃)=(4.47-0.2)∙24=102.48час., τ_з(G₃)= 4.8 час.

Для второго пласта (см. рис. 4.15, 4.16) получим:

первая мода

η=1, G₁=8.057∙ 10^-5 , К₂(G₁)= 44.6/(1∙(sin(π∙3/7))=45.75 ,

T₂ (G₁)=(3-0.19)∙24=67.44час.,τз(G₁)= 4.56час.;

третья мода

η=3 , G₃= 7.25∙ 10^-4 , К₂(G₃)= 29.2/(1∙(sin(π∙3∙3/7))=37.35 ,

T₂(G₃)=(2.5-0.16)∙24=56.16час., τ_з(G₃)= 3.84час.

        Синтез распределенных регуляторов

    В соответствии с методикой синтеза выполним следующие этапы:

 1.Синтезируем регулятор  ПИД.

Используя передаточную функцию (4.5) и вычисленные значения параметров по первой пространственной моде первого пласта, синтезируем регулятор, реализующий пропорционально – интегрально -дифференциального закона управления (ПИД). В процессе синтеза ПИД по первой пространственной моде (η=1, К₁ (G₁)=112.8 ,

T₁ (G₁)=117.96час.,τз(G₁)= 5.04 час.) частотным методом сосредоточенных систем ( с использованием программного комплекса МИРЭА) , получены значения параметров регулятора ПИД

 ,

где: К=0.2256 ;T_i=6501.9час. ;T_d=0.0033час. (Δ=4) , (запас устойчивости по фазе был выбран Δφ=π/6).

В процессе синтеза ПИД по первой пространственной моде второго пласта

(η=1,К₂(G₁)=45.75 ,T₂ (G₁)=67.44час.,τз(G₁)= 4.56час) частотным методом сосредоточенных систем ( с использованием программного комплекса МИРЭА), получены значения параметров регулятора ПИД

 ,

где: К=0.3589; T_i=1146.6 час. ; T_d=0.0148 час. (Δ=4) ,(запас устойчивости по фазе был выбран Δφ=π/6).

2.Оптимизируем выбор значений параметров β и r.

2.1. Выберем параметры β и r, обеспечивающие минимальный статический коэффициент усиления разомкнутой системы по первой моде первого пласта. Для этого, используя модифицированную передаточную функцию разомкнутой системы и изменяя значения параметров β и r (abs(β)>abs(r)) , определим соотношение параметров r/β, обеспечивающее минимальный модифицированный статический коэффициент усиления рассматриваемой разомкнутой системы  Re(Wс₁(G₁,jω₁=0)) (см. рис.4.17). Результаты вычислений показывают, что минимальный модифицированный статический коэффициент обеспечивает соотношение параметров  r/β=0.6585 .

Рис. 4.17. Оптимизация параметров β и r по первой пространственной моде разомкнутой системы первого пласта

2.2.Выберем параметры β и r, обеспечивающие минимальный статический коэффициент усиления разомкнутой системы для второго пласта по первой моде. Для этого, используя модифицированную передаточную функцию разомкнутой системы и изменяя значения параметров β и r (abs(β)>abs(r)) , определим соотношение параметров r/β, обеспечивающее минимальный модифицированный статический коэффициент усиления рассматриваемой разомкнутой системы Re(Wс₂(G₁,jω₁=0)) (см. рис.4.18). Результаты вычислений показывают, что минимальный модифицированный статический коэффициент обеспечивает соотношение параметров r/β=0.6097 .

Рис. 4.18. Оптимизация параметров β и r по первой пространственной моде

 разомкнутой системы второго пласта

3. Синтезируем распределенный регулятор, реализующий статический закон управления.

3.1. Построим модифицированные годографы разомкнутой системы   по выбранным пространственным модам, с учетом вычисленных значений параметров r/ β, при этом выберем значение β=-0.6.

               Для первого пласта r=-0.3951 .

Рис.4.19. Модифицированный годограф разомкнутой системы первого пласта

          Для второго пласта  r =-0.36585

Рис. 4.20. Модифицированный годограф разомкнутой системы второго пласта

3.2. Синтезируем распределенный регулятор, реализующий статический закон управления для первого пласта. Передаточная функция такого регулятора, имеет вид [1,2,15]

,

где  - заданное число (общий коэффициент усиления);

x, y – пространственные координаты;

 - лапласиан; s -оператор Лапласа;

n₁ – весовой коэффициент ( ).

         Передаточная функция регулятора, записанная с использованием обобщенной координаты (G),  может быть представлена в виде

W₁= E₁((n₁-1)/n₁+ G/n₁) .

Определим желаемые коэффициенты усиления регулятора для выбранных пространственных мод (G₁ и G₃, см. рис. 4.19)

.

Для определения параметров распределенного регулятора запишем следующие уравнения

, (4.6) 

. (4.7)

Поделив (4.7) на (4.6), придем к следующему результату:

     ,                                                                 (4.8)

где    .

Подставляя вычисленные значения, получим

,                                                            

где    .

Для вычисления значения Е₁, подставим  вычисленное значение  в (4.6) и преобразуя, получим

.

Передаточная функция синтезированного распределенного  регулятора для первого пласта может быть записана в виде:

,

где: Е₁= 4046.17; n₁=1; К=0.2256 ; T_i=6501.9час. ; T_d=0.0033 час.

3.3. Синтезируем распределенный регулятор, реализующий статический закон управления для второго пласта. Передаточная функция такого регулятора имеет вид W₂= E₂((n₂-1)/n₂+ G/n₂) [1,2].

Для выбранных пространственных мод (G₁ и G₃, см. рис. 4.20) определим желаемые коэффициенты усиления и параметры регулятора  

, .

.

.

Передаточная функция распределенного регулятора для второго пласта может быть записана в виде

,

где: Е₂= 3922; n₂=1; К=0.3589; T_i=1146.6 час.; T_d=0.0148 час.

    4.3.5. Анализ замкнутых систем управления

  Параметры распределенных регуляторов для первого и второго пластов, используемые при моделировании замкнутой системы получены в п. 4.3.4, а параметры распределенного регулятора и переходные процессы для третьего пласта получены в п.4.3.2, п.4.3.3 .

Структурная схема замкнутой системы управления приведена на рис.4.21

Входное воздействие (целевая функция) на объект управления формировалось в виде следующей функции F_υ = Н_υ+1,0 -2 (где υ – номер пласта (υ=1,1,3 )).

Функция рассогласования (см. рис.4.22) приведены для точки установки 2-й контрольной скважины в изучаемых пластах. Аналогичные функции получены и для точек установки остальных контрольных скважин.  

Рис.4.21. Структурная схема системы управления

Рис.4.22. Графики переходных процессов

   Как следует из результатов моделирования, синтезированные  распределенные  регуляторы достаточно эффективно управляют рассматриваемыми гидродинамическим процессом в пластах и могут быть рекомендован к реализации в реальных системах (см. рис. 4.22).