Пространственно - усилительное звено

,

где: Е₁ - заданное число (общий коэффициент усиления);

x, y – пространственные координаты;

 - лапласиан; s -оператор Лапласа;

n₁ – весовой коэффициент (n₁ ≥ 1).

Используя обобщенную координату, передаточная функция пространственно-усилительного звена может быть записана в виде

,                                

где G - обобщенная координата [1,4].

Идеальное пространственно - дифференцирующее звено

Передаточная функция такого звена имеет вид:

,

где: Е₂ – заданный коэффициент;

n₂ – весовой коэффициент (n₂ ≥ 1).

Используя обобщенную координату, передаточная функция идеального пространственно - дифференцирущего звена может быть записана в виде

,

.

Динамические характеристики звена в области S₁ =jω₁ могут быть записаны в виде:

.

На рис.1.1. частотные характеристики идеального пространственно-дифференцирующего звена.

Рис. 1.1. Частотные поверхности

Пространственно-форсирующее звено

Передаточная функция этого звена имеет вид:

,

где: E₃ – заданное число; n₃ – весовой коэффициент (n₃ ≥ 1).

С учетом обобщенной координаты звено записывается в виде

,

.

Динамические характеристики пространственно-форсирующего

 звена в области  s₁ =jω₁  могут быть записаны в виде:

.

На рис. 1.2 приведены частотные поверхности пространственно-форсирующего звена.

Рис. 1.2. Частотные поверхности пространственно-форсирующего звена

Идеальное пространственно-интегрирующее звено

Передаточная функция идеального пространственно-интегрирующего звена имеет вид:

,

где E₄ – заданное число; n₄ – весовой коэффициент (n₄ ≥ 1).

Передаточная функция звена, записанная с использованием обобщенной координаты (G), имеет вид:

, .

Динамические характеристики идеального пространственно-интегрирующего звена в области s₁ =jω₁  могут быть записаны в виде:

.

Преобразуя, получим

.

На рис.1.3 приведены частотные поверхности пространственно-интегрирующего звена.

Рис. 1.3. Частотные поверхности пространственно-интегрирующего звена

Пространственно - изодромное звено

Передаточная функция пространственно-изодромного звена имеет вид:

,

где E₅ – заданное число; n₅ – весовой коэффициент (n₅ ≥ 1).

,

На рис.1.4 приведены частотные поверхности пространственно-изодромного звена.

Рис.1.4.  Частотные поверхности пространственно - изодромного звена

Распределенный высокоточный регулятор

Передаточная функция РВР , сформированная из распределенных звеньев (пространственно – усилительного, идеального пространственно-интегрирующего и идеального пространственно – дифференцирующего) имеет вид:

Передаточная функция РВР, записанная с использованием обобщенной координаты, может быть представлена в виде следующего соотношения:

Динамические характеристики  РВР в области s₁ =jω₁  могут быть записаны в виде:

На рис. 1.5 приведены частотные поверхности  РВР

Рис. 1.5. Частотные поверхности РВР

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА СИТЕЗА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

    В главе приводятся основы методики синтеза сосредоточенных систем с использованием качественной теории, а так же  рассматриваются особенности систем с распределенными параметрами  и  методика синтеза распределенных регуляторов.

    2.1. Методика синтеза сосредоточенных систем

Методику синтеза сосредоточенных систем управления рассмотрим на примере

 определения коэффициента усиления регулятора для системы управления сосредоточенным объектом, передаточная функция которого задана в виде:

     (2.1)

Методика синтеза сосредоточенных систем управления распадается на следующие этапы:

1. Динамические характеристики  объекта (2.1) (комплексный передаточный коэффициент) в области s₁ =jω₁   могут быть записаны в виде:

    (2.2)

2. Используя соотношение (2.2) построим модифицированный  годограф (см.рис. 2.1).

3. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста [13,14], определим статический коэффициент усиления регулятора 

 К= -1/(-0.05)=20 (см. рис. 2.1).

Рис.2.1. Модифицированный годограф рассматриваемого объекта

 Моделируя работу замкнутой системы, получены графики переходного процесса, приведенные на рис. 2.2.

 Рис. 2.2. Результаты моделирования замкнутой системы управления

Аналогичным образом могут быть синтезированы и другие законы управления.

    2.2. Особенности систем с распределенными параметрами

      При исследовании систем с распределенными параметрами в [1-4] введено понятие пространственных мод  ̶ собственных вектор - функций операторов объектов. Собственное движение таких пространственных мод описывается бесконечными дифференциальными уравнениями. Преобразование по Лапласу таких уравнений приводит к бесконечным полиномам (к бесконечному числу корней по каждой пространственной моде). При этом число собственных вектор – функций оператора объекта (пространственных мод) так же бесконечно. Для описания динамических характеристик распределенного объекта управления в [1,4] введена обобщенная координата G. Она позволяет бесконечную совокупность годографов (см. рис. 2.3, а), описывающих динамические характеристики по каждой пространственной моде, свести к поверхности - пространственному годографу (см. рис.2.3, б).

Рис.2.3. Пространственный годограф

Частотная процедура синтеза [1-4]  разработана с использованием пространственного годографа (рис. 2.3).

        Под качественным распределением мод   для систем с распределенными параметрами понимается расположение мод  в цилиндре радиуса r больше нуля, с центром в точке (Re=β,Im=0), причем значении β+r должно быть меньше нуля. То есть данный круг должен лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, где параметр β  определяет среднюю скорость сходимости процессов к положению равновесия, а параметр r– определяет отклонения траекторий движения от  средних значений (см. рис.2.4,а), где G – обобщенная координата, с помощью которой учитывается бесконечная совокупность пространственных мод

Рис.2.4. Модифицированный пространственный годограф

         Критерий  Найквиста может быть применен и для анализа  качественного расположение мод в замкнутой распределенной системе. Если разомкнутый контур по каждой пространственной моде качественно экспоненциально устойчив с параметрами β и r, то амплитудно-фазо-частотная характеристика передаточной функции разомкнутого контура в области  s₁ =jω₁     не должна охватывать точку (Re=-1, Im=0) комплексной плоскости. Динамические характеристики разомкнутой распределенной системы, описывающие  характеристики по каждой пространственной моде, можно свести  к поверхности – модифицированному  пространственному годографу (см. рис.2.4, б).   В этом случае,  линейная распределенная система будет качественно экспоненциально устойчива с параметрами β и r, если модифицированный пространственный годограф не охватывает линию (Re=-1, Im=0,G)  

(см. рис.2.4, б).

    2.3. Синтез распределенных систем управления

Рассмотрим синтез распределенного регулятора для системы управления температурным полем многослойной пластинки (см. рис.2.5.).

Рис.2.5. Объект управления

Управляющим воздействием служит тепловой поток распределенный по поверхности S₁, а функцией выхода – температурное поле T₃(x,y,Z ^*,τ).

Поверхности S₂, S₄, S₆ теплоизолированы, а поверхности S₃, S₅ поддерживаются при постоянной температуре, равной нулю.

Для оценки динамических характеристик сформируем математическую модель объекта управления.

, (2.3)

,

 Z₀=0, Z₃=L_z .

Граничные условия для поверхностей S₃ и S₅

        (2.4)

Граничные условия для поверхностей S₂ и S₄ записываются в виде:

  (2.5)

Условия на границах раздела сред, отражающие равенство температур и тепловых потоков, записываются соотношениями:

(2.6.)

(2.7)

Управляющее воздействие в виде теплового потока распределено по границе S₁

. (2.8)

Поверхность S₆ теплоизолирована

          (2.9)

где: - температурное поле i-ой среды; U(x,y,τ)- управляющее воздействие; x,y,z- пространственные координаты, τ – время.

   Ставится задача синтеза распределенного регулятора, при котором

 линейная распределенная система будет качественно экспоненциально устойчива с параметрами β и r.

  Рассмотрим  особенности определения динамических характеристик для распределенных объектов управления и методику синтеза, на примере синтеза регуляторов для системы управления температурным полем многослойной пластинки (см. рис.2.5), математическая модель которой описывается уравнениями (2.3)-(2.9), а геометрические параметры объекта приведены в табл.2.1.

Табл.2.1.

Геометрические параметры пластины

(Геометрические  параметры заданы в системе СИ)

Теплофизические параметры заданы следующими значениями

                (параметры заданы в системе СИ).

Рассматриваемый объект принадлежит к классу пространственно – инвариантных [1,2].  В качестве собственных вектор функций (пространственных мод) выберем функции вида

Вид собственных вектор функций оператора объекта обусловлен граничными условиями (2.4)-(2.5).

Определим реакцию объекта на выбранные моды входного воздействия

В рассматриваемом случае поставленная задача решалась численно. Для этого, используя математическую модель объекта, была составлена численная модель и определена реакция объекта на выбранные пространственные моды входного воздействия.

Схема дискретизации объекта управления приведена на рис. 2.6.

При моделировании объекта управления были выбраны следующие значения переменных:  N_x=8; N_y=8; N_z =30;

                           Δx=L_x/(N_x-1);   Δy=L_y/(N_y-1); Δz=L_z/(N_z-1).

Как известно[1,4], в методике синтеза распределенных регуляторов используют динамические характеристики двух пространственных мод.

Рис. 2.6. Схема дискретизации

Методика исследования пространственно - инвариантных  объектов и систем приведена в [1-4].    Положим, что в результате моделирования определена реакция объекта (функция выхода)  на первую пространственную моду входного воздействия  (η=1,γ=1). Эту реакцию  представим в виде:

                                 .

 График функции  приведен на рис. 2.7.

Рис. 2.7. График функции

Аппроксимируем передаточную функцию по выбранным пространственным модам передаточной функцией вида

,         (2.10)

 В результате численного моделирования получены следующие значения параметров передаточной функции:

G=(π∙η/L_x)²+ (π∙γ/L_y)² [1,2];

η=1,γ=1,G₁= 66.87, К(G₁)= 0.282245, T(G₁)= 2058.188584 , τз(G₁)= 449.390945 ;

 η=3,γ=3 , G₃= 602.06 , К(G₃)= 0.043225, T(G₃)= 1120.090859 , 

 τ_з(G₃)= 314.638407 .

Используя вычисленные параметры и соотношение (2.10.) были построены годографы  функции (2.10.) для выбранных пространственных мод в области s₁ =jω₁  (см. рис. 2.8,2.9).

Рис.2.8. Модифицированный годограф для G₁

Рис.2.9. Модифицированный годограф для G₃

Модифицированный пространственный годограф объекта управления приведен на рис. 2.10. Формулировка критерия устойчивости Найквиста для рассматриваемых систем приведена в [12], показано, что для устойчивости замкнутых систем достаточно, что бы модифицированный пространственный годограф не охватывал линию {Re = -1,Im=0, G}.

В главе 1 приведены характеристики распределенных звеньев в области s₁ =jω₁, из которых формируется структура распределенного регулятора. Используем рассмотренные звенья в процедуре синтеза. Передаточная функция пространственно-усилительного звена записывается в виде

,(1≤n₁<∞).

Рассматриваемое звено, с использованием обобщенной координаты G [1-5] может быть записано в виде

,(1≤n₁<∞).

 Рис.2.10. Модифицированный пространственный годограф объекта управления

    2.3.1. Методика синтеза распределенного регулятора

    Рассмотрим синтез распределенного регулятора,  реализующего статический закон управления. Передаточная функция такого регулятора имеет вид

W= E_1∙((n₁ -1)/n₁+G/n₁).

Методика синтеза распадается на следующие этапы:

1. Для выбранных пространственных мод (G1 и G3, см. рис. 2.8 ,2.9) определим желаемые коэффициенты усиления регулятора

,          .

2. Для определения параметров распределенного регулятора запишем следующие уравнения[1,2 ]

,    (2.10) . (2.11)

Поделив (2.11) на (2.10), придем к следующему результату:

 ,                        (2.12)

где    .

Подставляя исходные данные в (2.12), получим

,

Учитывая ограничение (1≤ n₁) [1], выбираем

Подставляя вычисленное значение  в (2.11) и преобразуя, получим

.

Синтезированный регулятор может быть записан в виде

(дискретные модели таких регуляторов приведены в [1,2]).

Рис. 2.11. Результаты моделирования замкнутой системы управления

    На рис. 2.11. приведен график переходного процесса замкнутой системы управления, построенный по результатам моделирования для дискретной точки объекта  (х₃=2∙Δх, у₃=2∙Δу, z=Z^*) (см рис. 2.6.). Аналогичные графики могут быть построены и для других точек.

    2.3.2. Методика синтеза пропорционально-интегрального

                                           закона управления

Рассматриваемая методика использует методы синтеза регуляторов для сосредоточенных систем и методы синтеза распределенных систем управления.

1. В процессе синтеза пропорционально-интегрального закона управления по первой пространственной моде (η=1,γ=1,G₁= 66.87, К(G₁)= 0.282245,T(G₁)= 2058.188584, τз(G₁)= 449.390945), частотным методом сосредоточенных систем получен регулятор (при этом параметры были выбраны Δφ=π/6, Δ=1 [1]), передаточная функция которого имеет вид

 , где К=3.889 ,T=1168.70456.

Модифицированный годограф рассматриваемого регулятора приведен на

 рис. 2.12.

                Рис.2.12. Модифицированный годограф регулятора

2. Синтезированный регулятор состоит из двух блоков - распределенного пространственно-усилительного звена и W_пи

Определение параметров пространственно-усилительного звена распадается на следующие этапы:

2.1. Для выбранных пространственных мод (G1 и G3, см. рис. 2.8,2.9) определим желаемые коэффициенты усиления регулятора

,  (2.13)   .(2.14)

2.2. Для определения параметров распределенного регулятора  воспользуемся соотношениями (2.14),(2.13) и (2.12)

,  

.

Учитывая ограничение (1≤n₁), выбираем

. (2.15)

Структурная схема синтезированной системы управления приведена на рис.2.13.

Рис.2.13. Структурная схема системы управления

По результатам моделирования замкнутой системы управления построен график функции рассогласования 

,

для заданной точки z=Z^*, x=0.2 ,  y=0.3 (см. рис. 2.14.). Аналогичные графики могут быть построены и для других точек.

Рис. 2.14. График функции рассогласования

    2.3.3. Синтеза пропорционально - интегрально-дифференциального

                                                 закона управления

    Для  синтеза пропорционально - интегрально-дифференциального закона управления разработано множество пакетов программ. Воспользуемся программным комплексом МИРЭА и позволяющим синтезировать различные законы управления и осуществлять анализ работы замкнутых систем управления.

     В процессе синтеза пропорционально –интегрального -дифференциального закона управления по первой пространственной моде (η=1,γ=1,G₁= 66.87,

К(G₁)= 0.282245, T(G₁)= 2058.188584 , τз(G₁)= 449.390945), частотным методом сосредоточенных систем получен регулятор, передаточная функция которого имеет вид

 ,

где:  К=3.17;T_i=482.4;T_d=140.735, π/6≤ Δφ, 10.≤ΔL

По результатам моделирования замкнутой системы управления построен график функции рассогласования 

,

для заданной точки z=Z^*, x=0.2 , y=0.3 (см. рис. 2.15.). Аналогичные графики могут быть построены и для других точек.

Рис.2.15. График функции рассогласования

    2.3.4. Оптимизация процесса выбора значений параметров β и r

Проведенные  исследования для систем управления объектами, передаточные функции которых описываются в виде

,

показывают, что статический коэффициент усиления разомкнутой системы определяет устойчивость, точность и динамические характеристики замкнутой системы. Статический коэффициент усиления  разомкнутой системы  определяется передаточной функцией, приведенной выше и статическим коэффициентом регулятора. Передаточная функция объекта может быть записана в виде

.

Пространства состояния, используемые при проектировании систем управления, приведены на рис.2.16.

Рис.2.16. Пространства состояния, используемые при проектировании систем управления

Для определения параметров регулятора используется комплексная область jω₁.

 В рассматриваемой области статический коэффициент объекта управления (статическая кривая, см. рис. 2.10) зависит от параметров β и r(см. рис.2.17).

Рис. 2.17. Статическая кривая

Рис.2.18. Поверхность зависимости статики модифицированного годографа

от параметров β и r

      Выберем параметры β и r, обеспечивающие минимальный статический коэффициент усиления объекта управления. Результаты вычислений показывают, что минимальный статический коэффициент зависит от параметров объекта управления. Для объекта (2.10), с параметрами 

К(G₁)= 0.282245, T(G₁)= 2058.188584 , τз(G₁)= 449.390945,

график соотношения r/ β , обеспечивающего минимальный статический коэффициент, приведен на рис.2.18 .

    Исследуя зависимость статики модифицированного годографа от параметров β и r(результаты исследования приведены на рис. 2.18) получено, что минимальный статический коэффициент усиления модифицированного годографа по первой пространственной моде будет при β=-0.6 и r= - 0.439.

Построим модифицированные годографы при вычисленных значениях β и rдля выбранных пространственных мод объекта управления

η=1,γ=1,G₁= 66.87, К(G₁)= 0.282245, T(G₁)= 2058.188584 , τз(G₁)= 449.390945 .

Рис.2.19. Модифицированный годограф объекта управления

G₃= 602.06 , К(G₃)= 0.043225, T(G₃)= 1120.090859 , τ_з(G₃)= 314.638407 .

Рис.2.20. Модифицированный годограф объекта управления

Построим модифицированные годографы при вычисленных значениях β и rдля регулятора  ПИД:  

К=3.17; T_i=482.4 ;T_d=140.735 (см. рис. 2.21).

Рис.2.21. Модифицированный годограф регулятора

Аналогичные исследования были проведены для разомкнутой системы, состоящей из объекта и регулятора (см. рис.2.22 ).

Рис.2.22. Определение параметров β и rдля разомкнутой системы

Рис.2.23. Модифицированный годограф разомкнутой системы

Построим модифицированный годограф разомкнутой системы управления, состоящей из передаточной функции регулятора ПИД и объекта, по выбранным пространственным модам. При этом выберем значения параметров

       β= - 0.6 ,   r= -0.7804878∙ β=0.46829 (см. рис.2.22).

Для объекта и регулятора, синтезированного в п.2.3.3 рассмотрим синтез распределенного регулятора, передаточная функция которого имеет вид 

W= E₁(1+ G/n₁).

Процедура синтеза распадается на следующие этапы:

1. Для выбранных пространственных мод (G1 и G3, см. рис. 2.23) определим желаемые коэффициенты усиления регулятора

, .

2. Для определения параметров распределенного регулятора воспользуемся следующими соотношениями

 ,                                                            

где    .

Подставляя вычисленное значение  в (2.12.) и преобразуя, получим

.

Передаточная функция синтезированного регулятора записывается в виде

,

где: E₁=1.67; n₁=148; К=3.17; Ti=482.4 ;Td=140.735.

По результатам моделирования замкнутой системы управления построен график функции рассогласования 

,

для заданной точки   z=Z*, x=0.2 , y=0.3 (см. рис. 2.24). Аналогичные графики могут быть построены и для других точек. Как показывают результаты

моделирования замкнутой системы  (см. рис. 2.24), регулятор достаточно эффективно управляет процессом. Существенное перерегулирование в переходном процессе связано с тем, что реальная передаточная функция объекта по выбранным пространственным модам, описываемая отношением бесконечных полиномов [1,2] , аппроксимирована апериодическим звеном и звеном с чистым запаздыванием (см. 2.10). Это приводит к тому, что динамика реального объекта (в рассматриваемом случае дискретной модели объекта) несколько отличается от динамики объекта (2.10).

Рис.2.24. График переходного процесса

Исследуем влияние лапласиана на переходные процессы . Удалим лапласиан из передаточной функции разомкнутой системы, представляя ее в виде

Графики переходного процесса замкнутой системы приведены на рис. 2. 25

Рис.2.25. График переходного процесса

Графики (см. рис. 2.25, и рис. 2.24) построены по результатам моделирования работы замкнутой системы  управления показывают, что, в рассматриваемой системе, влияние лапласиана достаточно существенное.