Свойства математического ожидания и дисперсии

1) , где  – постоянная.

2) .

3) .

4) .

Если , то .

Случайная величина  называется неотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.

5) Если , то .

6) , где  – постоянная.

7) .

8) .

Если , то .

9) .  – постоянная.

10) .

11) .

Двумерная случайная величина  называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения

.

Здесь , , , ,

– коэффициент корреляции случайных величин  и . Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.

Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения

Здесь – площадь области .

  Пример 1.Дискретная двумерная случайная величина  распределена по закону, приведенному в таблице

	–1	0	2
–1	0,2	0,1	0,3
1	0,1	0,1	0,2

Определить:

1) Законы распределения составляющих  и , , ;

2) условный закон распределения случайной величины  при условии, что ;

3) ;

4) коэффициент корреляции .

Решение.1) Случайная величина  может принимать два значения  и .

Событие, состоящее в том, что случайная величина  примет значение , представляет собой сумму трех несовместных событий: , , . По теореме сложения вероятностей вероятность события, состоящего в том, случайная величина  примет значение , будет равна сумме вероятностей этих событий. Практически для нахождения  достаточно просуммировать вероятности первой строки двумерного закона распределения.

Аналогично находятся вероятности и других значений случайных величин  и .

Законы распределения составляющих будут иметь вид

	–1	1
	0,6	0,4

	–1	0	2
	0,3	0,2	0,5

,

,

,

.

2) Условный закон распределения случайной величины  при условии, что  – это перечень возможных значений случайной величины  и условных вероятностей , которые вычисляются по формуле ,

,

.

Условный закон распределения случайной величины  при условии, что  будет иметь вид

	–1	1

Сравнивая закон распределения случайной величины  и условный закон распределения случайной величины , видим, что закон распределения случайной величины  зависит от того, какое значение принимает случайная величина . Следовательно,  – зависимые случайные величины.

3) Условное математическое ожидание дискретной случайной величины равно .

Для решаемой задачи .

4) Коэффициент корреляции .

Корреляционный момент для дискретной двумерной случайной величины равен .

Для решаемой задачи

.

Вычислим коэффициент корреляции

.

Пример 2.Пусть задан треугольник АВС с вершинами  А(0,0), В(1,0), С(0,1). Обозначим область, ограниченную треугольником АВС через D.  Двумерная случайная величина  имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области , то есть

Найти постоянную , одномерные плотности ,  случайных величин  и , коэффициент корреляции , условную плотность  и условное математическое ожидание .

Рис. 3

Решение.1) Постоянную  найдем из условия нормировки

, ,

где – площадь треугольника .  Значит

2) Уравнение прямой ВС имеет вид . Тогда область  можно аналитически задать следующим образом:

    или .

3)

.

.

.

.

4) .

.

5)

.

Пример 3.Пара случайных величин  и  имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий  и ковариационной матрицей :

.

Известно, что . Найти .

Решение.Совместная нормальность пары случайных величин  и  обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина  нормальна с параметрами

, .

Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы

, , ,

получим  

.

По условию , откуда, используя нормальность , получаем

.

Здесь функция распределения вероятности случайной величины , .

Искомые дисперсии равны, соответственно,

,   .

Пример 4.Случайный вектор  имеет вектор математических ожиданий  и корреляционную матрицу .

, .

Вычислить вектор математических ожиданий  случайного вектора  и корреляционную матрицу вектора .

Решение. .

.

. .

.

=

.

Ответ: ,   .